مبتدی (مناسب برای درک مفهوم کلی مطلب)

F1816

با ایجاد شش ناحیه وعده گاه در طول سه قطر اصلی در شبکه عبوری از سلول مرکزی که در شکل 1(c) نشان داده شده است, این مشکلات در پروتکل HexDD [17] به منظور ارتقای عملکردهای شبکه پرداخته شده اند. در هنگام ارسال داده ها به گره داخلی بین بخش های نزدیک خطوط اصلی مورب, این مناطق, داده ها را تکثیر و ذخیره می کنند. برای بازیابی داده ها، پرس و جوهای سینک روی منطقه وعده گاه قرار می گیرند. اگر داده های درخواست شده در هر گره وعده گاه وجود داشته باشد، داده ها را از طریق مسیر معکوس فرستادن پرس و جوی سینک به سینک ارسال می کند. با این وجود، این پروتکل از مشکل نقطه داغ (نقطه دسترسی) به ویژه در منطقه مرکزی رنج می برد, زیرا تمام داده ها و پرس و جوها از طریق گره مرکزی منتقل می شوند. علاوه بر این، 6 منطقه ثابت وعده گاه، صرفه نظر از اندازه شبکه, موجب عدم تعادل مصرف انرژی در چند گره وعده گاه در شبکه می شود. به تازگی برخی از انواع دیگر پروتکل های مبتنی بر وعده گاه [22، 26، 27، 28] پیشنهاد شده است؛ اما هیچکدام از آنها نمی توانند از مشکل نقطه داغ جلوگیری کنند.
در مورد رویکرد مبتنی بر ستون فقرات، یک ستون فقرات مسیریابی در شبکه برای بدست آوردن موقعیت سینک تازه و انتقال داده ها به سمت آن [18، 19، 29، 30، 31، 32، 33، 34] توسعه داده شده است. در مسیریابی حلقه [18], یک حلقه بسته از گره ها ساخته شده است که یک مرکز شبکه از پیش تعیین شده سراسری را در خود جای می دهد، همان طور که در شکل (d)1 نشان داده شده است. به محض اینکه سینک سیار, موقعیت خود را تغییر می دهد، مکان به روزرسانی شده به حلقه را با ارسال بسته ها به سمت مرکز شبکه تبلیغ می کند و بنابراین گره های منبع می توانند موقعیت تازه سینک را از حلقه به دست بیاورند. بعدها، گره های منبع, داده ها را به طور مستقیم در حالت چندهاپ به سینک ارسال می کنند. اگر چه این ستون فقرات مسیریابی, موضع گیری سریعتر سینک را ارائه می دهد، مقیاس پذیری آن برای شبکه های بزرگ مورد سوال است. علاوه بر این، با توجه به اندازه شبکه یا محدوده ارتباطی حسگرها، شعاع حلقه مناسب را بررسی نکرده است. نتایج تجربی نشان می دهند که اگر شعاع حلقه خیلی کوچک باشد، زمان موضع یابی سینک برای گره های مرز شبکه افزایش می یابد. همین مسئله برای گره های مرکزی هنگامی رخ می دهد که یک شعاع بزرگ حلقه انتخاب می شود. ستون فقرات نه تنها برای موضع یابی سریع تر سینک موثر است، بلکه همچنین برای تحویل کارامد-انرژی داده ها به سینک موثر است. در [19]، ستون فقرات مسیریابی Fishbone با استفاده از سطوح مختلف جمع کننده ها (به عنوان مثال جمع کننده های اصلی و محلی) ساخته شده است، همان طور که در شکل (e)1 نشان داده شده است. گره های منبع، داده ها را بر روی ستون فقرات در ارسال چندهاپ منتقل می شوند. اگرچه ستون فقرات فوقانی، زیرساخت های ارتباطی بهتر را فراهم می کنند، تأخیر ارائه شده پایانه به پایانه داده ها به دلیل نبود انتخاب شعاع-حلقه مطلوب در [18] و تجمیع چند سطحی در [19] بالاتر است.
با انگیزه از چالش های بالا در زمینه مسیریابی بسته های داده از گره های منبع به سینک سیار در WSN ها، در این مقاله, ما ستون فقرات مسیریابی ستاره دریایی را با هدف ارائه تاخیر تحویل داده ها و افزایش زمان عمر شبکه توسعه داده ایم. عملکردهای خوب توسط ساخت کانال-حلقه و کانال های شعاعی در شبکه، مشابه با سیستم عروق آب یک ستاره دریایی [23] به دست می آیند. کانال-حلقه بر اساس طیف انتقال حسگر ساخته می شود و کانال های شعاعی بسته به اندازه شبکه و طیف انتقال تشکیل می شوند. وجود کانال-حلقه مرکزی با تعدادی از کانالهای-شعاعی به طور مشترک به توزیع بارهای مسیریابی داده ها در بسیاری از گره های شبکه کمک می کند. چنین سیاستی, منافع چند بعدی ای دارد از جمله افزایش طول عمر شبکه، تحویل سریع تر داده ها به گره سینک، کاهش سربار عملیاتی و در نهایت افزایش توان تولید (بازده). آنچه که در بخش بعدی نشان می دهیم، جزئیات عملیاتی ستون فقرات مسیریابی ستاره دریایی است.

3. ستون فقرات پیشنهادی مسیریابی ستاره دریایی
توسعه یک ستون فقرات مسیریابی کارآمد برای شبکه حسگر بی سیم, نه تنها به منظور کاهش تاخیر تحویل داده های پایانه به پایانه بلکه همچنین برای گسترش طول عمر شبکه تا حد زیادی مهم است. فلسفه کلیدی طراحی ستون فقرات مسیریابی پیشنهادی, گسترش گره های ستون فقرات بر روی مناطق مختلف شبکه است به شیوه ای که یک گره منبع می تواند به طور مستقیم به حداقل یکی از گره های ستون فقرات دسترسی پیدا کند. در این بخش، جزئیات ساخت و ساز و عملیاتی ستون فقرات مسیریابی ستاره دریایی به دنبال مدل شبکه فرض شده ارائه می شوند.

3.1 مدل شبکه
ما یک شبکه حسگر بی سیم را فرض می کنیم که در آن گره های حسگر همگن به صورت تصادفی در یک شبکه مستطیلی با اندازه توزیع شده اند، همان طور که در شکل (a)2 نشان داده شده است، جایی که a و به ترتیب نیمی از طول و عرض مستطیل، و (u,v), مرکز شبکه است. تمام گره های حسگر بعد از استقرار به صورت ساکن در نظر گرفته می شوند، در حالی که سینک, متحرک است، یعنی، سینک به طور مداوم در شبکه حرکت می کند و جمع آوری داده ها از گره های حسگر را انجام می دهد. هر گره حسگر i, یک انرژی اولیه E0 دارد و یک محدوده انتقال r را دارد. ما همچنین فرض می کنیم که هر گره حسگر, نقطه مختصات خاص خود (xi، yi) را با استفاده از GPS یا هر روش موضع یابی می شناسد [35، 36]. گره های حسگر منبع, بسته های داده های حس شده را به سینک سیار روی گره های ستون فقرات در حالت چندهاپ می فرستد. ستون فقرات پیشنهادی مسیریابی ستاره دریایی یک کانال-حلقه مرکزی و تعداد کانال های-شعاعی طویل شده در سراسر شبکه می باشد. گره ها روی ستون فقرات به سه رده تقسیم می شوند: مجموعه ای از گره های لنگر در لبه شبکه, ؛ مجموعه ای از گره های کانال-شعاعی, ؛ مجموعه ای از گره ها روی کانال-حلقه, ؛ و نشاندهنده مجموعه تمام گره ها روی ستون فقرات مسیریابی ستاره دریایی است که در شکل نشان داده شده است.

در ستون فقرات مسیریابی ستاره دریایی، کانال-حلقه بر اساس طیف انتقال r گره های حسگر ساخته می شود و چندین کانال های-شعاعی وابسته به اندازه شبکه و طیف انتقال r شکل می گیرند. در طول ساخت ستون فقرات مسیریابی ستاره دریایی، گره های ستون فقرات بر اساس انرژی اولیه گره E0، انرژی باقیمانده Eres و آستانه گره Eth برای انتقال موفقیت آمیز گره ها انتخاب می شوند. مسئولیت اصلی گره های ستون فقرات روی کانال-حلقه و کانال های-شعاعی این است که جمع آوری داده ها از دستگاه های حسگر منبع درون 1-هاپ را انجام می دهد و آنها را به جلو به سمت گره سینک سیار ارسال می کند. رویه ساخت مفصل کانال-حلقه و کانال های-شعاعی در زیربخش های زیر ارائه شده است. نمادهای مورد استفاده در این مقاله در جدول 1 خلاصه شده است.

2 ساخت کانال-حلقه ای

یک کانال-حلقه مرکزی, یک حلقه بسته از گره هایی است که به طور دایروی حول مرکز شبکه حسگر بی سیم قرار گرفته اند، همان طور که در شکل (b)2 نشان داده شده است. هدف اولیه کانال-حلقه, سبک کردن مسئله نقطه داغ, به خصوص در مرکز شبکه، ناشی از همگرایی گره های ستون فقرات در مرکز است. اگر اندازه کانال-حلقه با توجه به اندازه شبکه به شدت بزرگ باشد، گره های منبع داخل کانال-حلقه نمی توانند به طور مستقیم به گره ستون فقرات خود دسترسی داشته باشند. در ضمن، اگر اندازه کانال-حلقه با توجه به طیف انتقال بسیار کوچک باشد، باعث افزایش تداخل و برخورد بیشتر در هنگام انتقال ها از بسیاری از گره ها نزدیک به مرکز شبکه می شود. این امر به دلیل وجود و همگرایی کانال های شعاعی بیشتر بر روی کانال-حلقه ستون فقرات مسیریابی ستاره دریایی رخ می دهد. شعاع یک کانال-حلقه را به صورت زیر تعریف می کنیم.

که در آن,  یک متغیر کنترل است که مقدار گسترش شعاع کانال-حلقه از طیف انتقال یک حسگر را تعیین می کند. ما رفتار این متغیر کنترل را در بخش 5 مطالعه کرده ایم. مرکز کانال-حلقه در مرکز شبکه (u، v) تثبیت می شود و بنابراین مجموعه ای از گره ها   واقع در هر موقعیت  (و یا در نزدیکی بسیار), مرکز شبکه را در بر می گیرند, همان طور که در شکل  نشان داده شده است, تا ویژگی دایروی آن به شرح زیر حفظ شود,

 در حال حاضر، به منظور ساخت کانال-حلقه ستون فقرات مسیریابی ستاره دریایی پیشنهاد شده، در ابتدا، کنترل کننده مرکزی, مرکز شبکه (u,v)، شعاع R کانال-حلقه را با استفاده از معادله 1 تعیین می کند و یک دایره مرجع را با استفاده از معادله 2 ترسیم می کند. سپس کنترل کننده, یک گره حسگر را به صورت تصادفی در داخل یا حدوداً درون دایره-مرجع به عنوان گره آغازین (یعنی، c1) کانال-حلقه بر می دارد، همان طور که در شکل (b)2 نشان داده شده است. بعداً، گره های بعدی انتخاب می شوند (به عنوان مثال، c2 تا c6), هر یک پس از فاصله برابر با طیف انتقال r (یا تا حدودی کمتر از r) قرار گرفته در یا داخل دایره-مرجع دارای ویژگی بیان شده در معادله.2 و حداقل انرژی آستانه (Eth) انتخاب می شوند، یعنی Eres ≥ Eth، جایی که Eres, انرژی باقی مانده یک گره حسگر است.

این فرایند انتخاب گره های ستون فقرات کانال-حلقه تا زمانی ادامه می یابد که گره آغازین کانال-حلقه به دست آید. این گره های ستون فقرات در کانال-حلقه در Zc (یعنی, c1 تا c6)، یک حلقه کامل از گره های متصل را تشکیل می دهند، همان طور که در شکل (b)2 نشان داده شده است. شکل کانال-حلقه نباید یک دایره دقیق باشد، بلکه باید یک حلقه بسته متصل از گره ها باشد.

3.3. ساخت کانال های شعاعی

در ستون فقرات مسیریابی ستاره دریایی، کانال های شعاعی به سمت لبه شبکه از کانال-حلقه طویل می شوند. هدف اولیه ساخت کانال های-شعاعی, گسترش گره های ستون فقرات در سراسر شبکه است, به طوری که گره های منبع از تمام نواحی شبکه می توانند حداقل به یکی از گره های ستون فقرات در کانال های شعاعی دسترسی داشته باشند. اگر گره های ستون فقرات دور از یک گره منبع خاص قرار داشته باشند، زمان بیشتری برای موضع یابی سینک سیار طول می کشد و بسته ها باید هاپ های بیشتری را برای رسیدن به سینک رد کننند. در چنین موردی، احتمالات تلفات بسته ها، سربارهای برخورد و انتقال نیز به طور قابل توجهی افزایش می یابد.

مبتدی (مناسب برای درک مفهوم کلی مطلب) 

3. روش پیشنهادی
محیط ابری محتوی سرورهای زیادی است که n تعداد از کارها را برای خوشه های منابع موجود، زمان بندی می کنند. هر خوشه محتوی ترتیبی میان کارها است که از آن برای زمان بندی استفاده نموده و با استفاده از الگوریتم EPRNW بهترین خوشه منبع را انتخاب نموده و عملیاتی برروی کارهایش اجرا می نماید [1]. در این الگوریتم، پتانسیل خوشه های منبع براساس سه گام محاسبه شده است. گام اول تخصیص وزن به گره ها و ایجاد یک هویت برای آن گره ها است. گام دوم، برقراری اتصال بین گره ها در محیط برای یک ارتباط موثر میان آنها است. گام سوم طبق روش الگوریتم، جدا نمودن شاه منابع از منابع دیگراست. زمان کل یا صرف شده، یک پارامترمهم در محیط ابری به حساب می آید که کارها را زمان بندی می نماید. زمان کل به صورت زمان تکمیل کل کارها برای یک محیط ابری خاص تعریف شده و عمدتاً برزمان ورود کار، زمان پاسخ کارها و همچنین بهره برداری از دستگاه تمرکز می کند. زمان کل محیط ابری به صورت زمان بین ورود کارها به خوشه منبع و خروج از آن مشتمل بر کارهای ورودی به همان خوشه منبع و همچنین خوشه منبع متفاوت محاسبه شده است. کلیه خوشه های منابع از طریق رسانه شبکه به هم متصل شده اند تا بدین طریق از تسهیلات همسایگی میان خوشه ها اطمینان حاصل گردد. سرورها از مرتب سازی متوالی (ترتیبی) برای خدمت کردن به کارها استفاده می کنند. هر خوشه منبع در محیط ابری، کارها را در داخل یا خارج می پذیرد. در شیوه های موجود، انتخاب خوشه های منبع مبتنی بر شیوه احتمالی است که منجر به یک راه حل ناکارآمد می گردد. برای بدست آوردن راه حل نزدیک بهینه، بهترین خوشه های منبع با محاسبه پتانسیل منبع و با استفاده از الگوریتم معرفی شده، انتخاب می شوند. کارهای روی خوشه منبع A به خوشه B با پتانسیل خوشه حمل شده یا از خوشه منبع خارج می شوند به شرطی که پتانسیل خوشه منبع کارهایی با پتانسیل را ارضا نماید.

3.1 فرایند ورود در هر خوشه منبع
محاسبه به فرایند پواسن بستگی دارد، زیرا فرایند ورود، یک فرایند پواسن است که به توزیع کارهای مختلف در میان خوشه های منبع کمک می کند. به طور مثال، یک متغیر تصادفی است که ورود تعدادی کار به خوشه منبع در فاصله زمانی خاص را نشان می دهد. بعضاً هیچ کاری وارد خوشه های منبع نمی شود. در این رابطه، احتمال ورود کارها و همچنین احتمال عدم ورود کارها، با کمک توزیع احتمال تعیین شده است. در یک خوشه منبع خاص، دو موقعیت بروز می کند. یکی ورود کارهای زیاد به خوشه منبع و موقعیت دیگر عدم ورود کارها به خوشه منبع در فاصله زمانی خاص است. خوشه های منبع حتی در زمان عدم ورود کارهادر حالت بیکار قرار نخواهند داشت. در آن زمان، کارهای کارهای منابع دیگر با خوشه های منبع تهی به اشتراک گذاشته شده و بدین ترتیب کارها پردازش می شوند. فواصل زمانی ورود کارها متفاوت بوده و در میان خوشه های منبعی که منجر به فرایند پواسن می گردند، مستقل می باشند. از فرایند پواسن برای تعیین ارزش یا مقدار مورد انتظار (E) در فاصله زمانی پیوسته با برآورد تعداد متوسط کارهای ورودی به خوشه منبع استفاده شده است. مفهوم توزیع دو جمله ای نشان می دهد ارزش مورد انتظار (E) متغیر تصادفی، برابراست با تعداد آزمایشاتی که در آنها متغیر تصادفی پیدا شده و احتمال موفقیت آزمایشات. توزیع دوجمله ای مطابق مسئله خوشه منبع پیشنهادی با تعیین تعداد آزمایشات به صورت پردازش در فواصل زمانی مستقل و با تعیین احتمال موفقیت به صورت وضعیت ورود و عدم ورود کارها به خوشه منبع، اصلاح شده است.

3.2 توزیع کارها میان خوشه های منبع
زنجیره مارکوف ابزاری عالی برای تعیین توزیع کارها میان خوشه های منبع به حساب می آید به شرطی که زمان های خدمات و زمان های بین ورود کارها از توزیع نمایی پیروی کنند. بیایید پنج خوشه منبع RC1، RC2، RC3، RC4 و RC5 را برای سیستم پیشنهادی در نظر بگیریم، که توسط زنجیره مارکوف مدلسازی شده اند و بدین طریق احتمال توزیع کارها را تعیین نماییم. مدل زنجیره مارکوف پیوسته، یک مدل ارزیابی برای مدیریت تعداد زیادی از کارها با محاسبه زمان ورود در زمان نامتناهی با استفاده از فرایند پواسن ایجاد می کند(2 در 2). در مقایسه با فرایند زنجیره مارکوف با زمان گسسته، فرایند زنجیره مارکوف با زمان پیوسته، در فواصل زمانی نامتناهی نیز عملکرد خوبی به معرض نمایش می گذارد، زیرا در زنجیره مارکوف با زمان گسسته، حد زمانی را باید تعیین نمود. شکل، نمودار انتقال از خوشه منبع مدلسازی شده با زنجیره مارکوف را نشان می دهد که توزیع کارها میان خوشه های منبع را به تصویر کشیده و احتمال تعداد متوسط کارها در هر خوشه منبع را مشخص می نماید. کارها از داخل یا خارج وارد RC1 می شوند، 60 درصد از کارها در RC1 مستقر بوده و 40 درصد باقیمانده در میان خوشه های منبع دیگر نظیر RC2، RC3، RC4 وRC5 پراکنده شده اند. کارهای مستقر در خوشه منبع براساس محاسبه پتانسیل منبع با استفاده از الگوریتم EPRNW بدست آمده اند. 10 درصد از کارها در RC2 مستقر هستند که از داخل یا خارج وارد RC2 شده اند و 90 درصد باقیمانده از کارها در میان خوشه های منبع پراکنده شده اند. برای خوشه های منبع باقیمانده، از همین خصوصیت مارکوف استفاده شده است. ماتریس های احتمال انتقال نمایش روشن توزیع احتمال کارها و تعداد متوسط کارها در خوشه منبع را نشان می دهند.

4. نتایج و بحث
گراف های آزمایشی زیر ارزیابی عملکرد مدل برآورد موجود و زنجیره مارکوف پیشنهادی در کنار مدل پواسن را به تصویر می کشند. در سیستم پیشنهادی، از تعداد متفاوتی از خوشه های منبع (RC=50,100) برای اجرای وظیفه در محیط ابری استفاده شده است. اشکال 1 و 2 محاسبه نرخ ورود کارها در 50 و 100 خوشه منبع با مدل برآورد شده موجود (EEM) و مدل پواسن زنجیره مارکوف (MCP) را نشان می دهند. مدل MCP در مقایسه با EEM، تعداد بیشتری از کارهای ورودی را تعیین و زمان بندی می نماید. درصد احتمال نرخ ورود مقادیر نمایی محاسبه و جدول مقایسه ثابت می کند که MCP تعداد بیشتری از ورودها را حتی در زمان نمایی تعیین و درصد احتمال تعیین نرخ ورود کارها در MCP افزایش یافته است.

در شکل 9 یک گره چند هدفه نمایش داده شده است. این گراف احتمال زمان پاسخ خوشه های منبع، درصد تجمعی کارها در خوشه های منبع را نشان می دهد که بهره برداری از منابع محیط ابری و نرخ ورود توزیع شده به صورت نمایی را تضمین می کند. با کاهش زمان پاسخ، زمان خدمات و زمان تکمیل، زمان کل محیط ابری نیز کاهش می یابد. زمان کل به زمان صرف شده از سوی الگوریتم یا روش برای تکمیل کلیه کارهای محیط ابری اتلاق می گردد. اختلاف بین زمان خدمات و زمان تکمیل حاکی از آن است که زمان خدمات، حفره درونی زمان تکمیل می باشد. زمان خدمات به زمان صرف شده برای تکمیل کار خاصی از محیط اتلاق می گردد. زمان تکمیل شامل زمان پاسخ و همچنین زمان خدمات می شود.

سیستم های صف بندی زمان گسسته با تعطیلی های انحصاری مارکوفی

Discrete-time queueing systems with Markovian preemptive vacations

Abstract

In this contribution we investigate discrete-time queueing systems with vacations. A framework is constructed that allows for studying numerous different vacation systems, including a.o. classical vacation systems like the exhaustive and limited vacation systems as well as queueing systems with service interruptions. Using a probability generating functions approach, we obtain steady-state performance measures such as moments of queue content at different epochs and of customer delay. The usefulness of vacation models in teletraffic is then illustrated by means of some more practical applications (priority queueing, CSMA/CD).

1 Introduction

Queueing systems with vacations [1–3] have proven to be a useful abstraction in modelling unreliability of servers and in modelling systems where service resources are shared between classes of customers. Typical examples of the former class of applications include repair/maintenance models [4] and ARQ systems [5]. Priority queueing models [1,6] and polling models [7,8] are examples of the latter class.

In this contribution we consider the discrete-time GeoX /G/1 queue subjected to vacations. The vacation process is Markovian and may also depend on the system state: the probability to leave for a vacation at the end of a slot and the duration of this vacation depends on whether or not a customer receives service during the slot, and if so, whether or not this customer remains in service, ends service leaving behind an empty system, or ends service but leaves behind a non-empty system. As such, vacations can interrupt a customer’s service; such vacations are sometimes referred to as preemptive, in accordance with the terminology of priority queueing systems. We therefore consider three different operation modes to cope with these interruptions: the customer resumes its service after the interruption, the customer repeats its service or the customer repeats its service with a possibly different (resampled) service time.

The model under consideration can capture behaviour of a number of ‘‘classical’’ vacation models – including the exhaustive vacation system with single and multiple vacations and number- and time-limited vacation systems – as well as of systems with a preemptive independent vacation process. Classical vacation models are extensively treated in Takagi’s excellent monographs on continuous-time [1] and discrete-time [9] queueing theory. More recent results are also summarised by Tian and Zhang [10]. Systems with a preemptive independent vacation process are surveyed here. Such vacation models are often referred to as systems with server interruptions or server breakdowns. The availability of the server can then be modelled as an on–off process as server availability alternates between being on and being off.

We first focus on continuous-time models. According to Ibe and Trivedi [11], White and Christie [12] were the first to study queues with interruptions. They consider a continuous-time M/M/1 queueing system where the vacation process is modelled as an on–off process with exponentially distributed on- and off-periods. Generally distributed service times and off-periods are considered by Avi-Itzhak and Naor [13] and also by Thiruvengadam [14]. These authors consider exponentially distributed on-periods as opposed to Federgruen and Green [15], who consider phase-type on-periods. Van Dijk [16] provides an approximate analysis of a system with exponentially distributed service times but with generally distributed on- and off-periods whereas Takine and Sengupta [17] study a vacation queueing system in a Markov-modulated environment. The latter authors also allow correlation in the arrival process. Queues with interruptions are also studied outside the framework of single-server first-come-first-served queues. Ke et al. [18] consider a Markovian multi-server queueing system with server interruptions, show that the queueing process can be described by a quasi-birth–death (QBD) process and numerically solve the QBD process. Choudhury and Ke [19] assess performance of a retrial queue with server interruptions by means of a pgf approach. Further, a processor sharing queueing system with exponentially distributed on-periods and generally distributed vacation periods is studied by Núñez Queija [20]. All these contributions assume that customers resume service after the interruption. Gaver Jr. [21] also considers the case where service is either repeated or repeated and resampled after the interruption. The latter operation mode is also studied by Ibe and Trivedi [11] for a two station polling system and by Krishnamoorthy et al. [22] for a queue with a Markov arrival process and phase-type service times.

Research on discrete-time queueing systems with service interruptions started later. Early contributions include those by Hsu [23] and Heines [24]. Both authors treat the single server system with Bernoulli server vacations and a Poisson arrival process. The former considers queue content at random slot boundaries whereas the latter considers queue content at service completion times. A single server system with an independent arrival process and a correlated on/off server vacation process is treated by Bruneel [25], by Yang and Mark [26] and by Woodside and Ho [27]. Yang and Mark [26] and Woodside and Ho [27] model the on- and off-periods as two series of independent shifted geometric random variables, whereas Bruneel [25] assumes that the series of consecutive on-periods as well as the series of consecutive off-periods share a common general distribution. The only restriction in the latter contribution is that the common probability generating function of the on-periods must be rational. Alternatively, correlation in the vacation process is captured by means of a Markovian process by Lee [28].

Georganas [29] and Bruneel [30] treat multi-server systems with independent customer arrival and server vacation processes. The latter extends the former in the sense that it does not assume that all servers are either available or on vacation simultaneously. The delay analysis of the latter system is presented by Laevens and Bruneel [31]. Bruneel [32] also considers a multi-server system with a correlated vacation process. Here, the vacation process is modelled as an on/off process (geometrical on-periods). The numbers of available servers during the consecutive on-slots constitute a series of independent and identically distributed non-negative random variables whereas no servers are available during off-periods.

Some contributions also allow a certain degree of correlation in the arrival process. Bruneel [33] assumes that both arrival and vacation processes are on/off processes with geometric on- and off-periods. A stochastic number of customers enters the system during arrival-on periods, whereas no customers arrive in the system during arrival-off periods. The vacation process is similar to the one analysed by Yang and Mark [26] in the case of uncorrelated arrivals. This vacation process is also considered by Ali et al. [34] and by Kamoun [35]. These authors however assume that customer arrivals come from a superposition of two-state Markovian on–off sources [34] or from a train-arrival process [35]. All the former discrete-time queueing models have fixed customer service times of a single slot in common. Queueing systems where customers have fixed multiple-slot and generally distributed service times are considered by Inghelbrecht et al. [36] and Fiems et al. [6,37,38] respectively. The vacation process is either a Bernoulli [38], a two-state Markovian [36,37] or a renewal process [6]. The combination of multiple-slot service times and vacations implies that service of a customer can be interrupted. The service may then continue [6,36–38] or repeat the service with the same [6,36–38] or a different [38] service time after the interruption. Service may also be repeated partially [6,38] or ‘‘delayed’’ after the interruption [6]. In the latter case, service continues during the vacations but is repeated until the customer receives service without vacations. Finally, as interruptions and service repetitions do render the queueing systems non-work conserving, Morozov and Fiems [39] consider stability of a discrete-time queueing system with server interruptions and resampling after the interruption under the more general setting of generally distributed on-, off- and interarrival times.

The outline of the remainder of this contribution is as follows. In the next section, the model under consideration is described in detail. The analysis is then presented in Sections 3–5. In Section 3, we derive expressions for the probability generating functions of the ‘‘effective service times’’ of customers. The effective service time approach allows us to present a unified queueing analysis for all modes under consideration. The probability generating function of the queue content and customer delay are derived in Sections 4 and 5 respectively. In Section 6, we relate our model to some existing vacation models, whereas some teletraffic applications are presented in Section 7. Finally, conclusions are drawn in Section 8.

مبتدی (مناسب برای درک مفهوم کلی مطلب) 

3. مدل سیستم
A) معماری سیستم ابری تلفن‌همراه
محاسبات ابری تلفن‌همراه ترکیبی از تلفن‌همراه و محاسبات ابری است و یک محیط محاسبات ابری از طریق دستگاه‌های مختلف تلفن‌همراه ارائه می‌دهد. بااین‌حال، توجه به مشکلاتی از قبیل عدم تجانس میان دستگاه‌های تلفن‌همراه، پهنای باند شبکه پایین و اتصال بسیار متناوب، ادغام دستگاه‌های تلفن‌همراه به‌طور مستقیم با محیط‌های ابری تلفن‌همراه دشوار است. جهت وساطت بین دستگاه‌های تلفن‌همراه و شبکه‌های سیمی، از یک پروکسی استفاده شده است. نقش میان‌افزار ابر تلفن‌همراه به شرح زیر است: مکمل عملکرد ناکافی دستگاههای تلفنهمراه، اتصال دستگاههای تلفن‌همراه به یک پلت‌فرم ابر و مدیریت دستگاه‌های تلفن‌همراه. معماری ابر تلفن‌همراه در شکل 1 ارائه شده است. تابع هر مولفه به شرح زیر است.
میان‌افزار ابر تلفن‌همراه شامل زمانبندی کار، مدیریت تحمل خطا، مدیریت کار و مدیر مانیتورینگ است. مدیریت نظارت تصمیم می‌گیرد درفواصل زمانی اطلاعات جمع‌آوری شده توسط منابع تلفن‌همراه را نظارت کند. مدیر کار عملیات کار را در یک دستگاه تلفن‌همراه مدیریت می‌کند و زمانبند کار به منابع تلفن‌همراه با توجه به اطلاعات نظارت کار اختصاص می‌دهد. مدیریت تحمل خطا خطا را پیش‌بینی می‌کند و تکنیک‌هایی مانند بازرسی و تکرار عرضه می‌کند.

دستگاه تلفن‌همراه شامل ماژول اتصال، ارائه‌دهنده‌ی نظارت و ماژول اجرای کار است. ماژول اتصال انواع شبکه‌ها را برای ایجاد اتصال به ارائه‌دهنده میان‌افزار ابر مدیریت می‌کند. ماژول نظارت، اطلاعات حالت دستگاه‌های تلفن‌همراه را جمع آوری می‌کند و اطلاعات حالت منابع را به مدیریت نظارت می‌فرستد. ماژول اجرای کار، کارهای دریافت شده از مدیریت کار را اجرا می‌کند و نتیجه‌ی پردازش را به مدیریت کار می‌فرستد.

B) استفاده از الگوی دستگاه‌های تلفن‌همراه
در یک محیط تلفن‌همراه (LAN، شبکه 3G و غیره) اتصالات شبکه عمدتا دردسترس است، اما برخی مناطق وجود دارد که در آن اتصال به شبکه مانند مناطق زیرزمینی و کوهستانی غیرممکن است، تحقیقات قبلی [13] [ 14] استفاده از تلفن‌همراه در محیط WLAN را برای محیط‌های تلفن‌همراه تجزیه‌وتحلیل کرده‌اند، که به‌طورکلی در مدارس و یا شرکت است و نشان می‌دهد که یک الگوی استفاده از دستگاه‌های تلفن‌همراه در طول زمان وجود دارد. Song و Yu [15] نشان دادند که یک الگوی استفاده از دستگاه‌های تلفن‌همراه وجود دارد. داده‌ها از شبکه‌های بی‌سیم دانشگاه دارتموث به مدت 6 ماه بین دسامبر 2005 تا می 2006 جمع‌آوری شده است.
در این مقاله ما الگوهای از [15] استفاده کردیم، که اطلاعات نظارت از دستگاه‌های تلفن‌همراه از یک دانشگاه به دست آمده بود. شکل زیر الگوی استفاده شده توسط تیم تحقیقاتی ما را نشان می‌دهد.

4. مدل‌سازی نظارت زنجیره‌ی مارکوف
A) تعریف اطلاعات منابع
قدرت پردازنده، حافظه، پهنای باند شبکه و محل، نمونه‌هایی از تغییر پویای اطلاعات منابع دستگاه‌های تلفن‌همراه می‌باشد. اطلاعات جمع‌آوری شده از دستگاه‌های تلفن‌همراه برای محاسبه‌ی نرخ مصرف از هر منبع ابر تلفن‌همراه استفاده می‌شود. استفاده از CPU و استفاده از حافظه توسط فرمول زیر محاسبه می‌شود.

زیر نویس “util” نشان‌دهنده‌ی میزان استفاده از یک منبع است، “user” نشان‌دهنده‌ی میزان استفاده از یک کاربر، “sys” نشان‌دهنده‌ی میزان استفاده از یک سیستم، “cache” نشان‌دهنده‌ی میزان استفاده از حافظه کش، “tital” نشان‌دهنده‌ی حداکثر میزان استفاده در دسترس است.
پهنای باند شبکه به معنای پهنای باند باقی‌مانده‌ی محاسبه شده با کم کردن استفاده از ترافیک شبکه از حداکثر پهنای باند دردسترس است. که با توجه به استفاده از ترافیک شبکه در یک فاصله‌ی ثابت تغییر می‌کند. بنابراین، اطلاعات پهنای باند شبکه برای محاسبه‌ی میزان استفاده از پهنای باند شبکه (Nutil) مورد استفاده قرار می‌گیرد.

Nbw پهنای باند دردسترس در زمان t، C ظرفیت حداکثر پهنای باند دردسترس است، و یک ترافیک شبکه است.
اطلاعات محل از اطلاعات GPS و فاصله ارزش مکانی فعلی از ارزش AP (Access Point) محل محاسبه می‌شود. ارزش مخفف فاصله بین مرکز منطقه AP و مکان فعلی است.

Lper نرخ فاصله بین مرکز منطقه AP و مکان فعلی است، Llim پوشش ارتباطات از راه دور از AP، Lcan مرکز AP منطقه فعلی Lcur مکان فعلی از منابع است.

B) مدل‌های زنجیره‌ای مارکوف برای پیش‌بینی خطاها
اطلاعات حالت مانیتور شده را می‌توان به 3 دسته از احتمال خطا تقسیم‌بندی کرد. هر حالت به‌صورت زیر تعریف می‌شود: یک عمل دردسترس و حالت بدون خطا (حالت پایدار)، یک عملیات دردسترس و حالت خطای ممکن (حالت ناپایدار) و یک حالت عملیات دردسترس با توجه به خطا و یا قطع ارتباط شبکه (حالت غیرفعال). سه مقدار حالت براساس نرخ استفاده از پردازنده (Cuti) تعیین می‌شود، این طبقه‌بندی از راهنمای استفاده از پردازنده IBM نتیجه می‌شود [16].

مدل زنجیره‌ای مارکوف (MCM) معمولا به‌عنوان یک ماتریس که در شکل 5 نشان داده شده تعریف می‌شود. در ماتریس P در شکل 5، دولت SSTI به‌معنی حالت پایدار در زمانI است. بنابراین، امکان هر حالت در زمان I به‌صورت PSstI، PUstI و PDstI نوشته می‌شود.

C) تخمین احتمال انتقال
اگر داده‌های ظبط شده‌ی قبلی کافی نباشد دوحالت برای تخمین احتمال انتفال وجود دارد. یکی تخصیص مقدار ذهنی و دیگری به‌دست آوردن احتمال انتقال بااستفاده از داده‌های آماری است. در این مقاله اطلاعات حالت قبلی از روز یکسانی از هفته‌ی قبلی به‌دست می‌آید. ما از تابع با بیشترین احتمال برای به‌دست آوردن احتمال انتقال از داده‌های جمع‌آوری شده استفاده می‌کنیم.

Vi احتمال انتقال ( P_(S_st IS_st J)) است که هرحالت در زمان I به هر حالت در زمان J منتقل می‌شود. Xi و yi اعدادی هستند که هر اتنقالی اتفاق می‌افتد. برای مثال xi تعداد انتقال‌ها از Sst به Dst است. K تعداد حالات گذشته را که به ارزش وضعیت فعلی بستگی دارد نشان می‌دهد. ارزش تخمینی که به‌طورموثر منعکس‌کننده‌ی الگوهای گذشته N است را می‌توان با مقدار احتمال انتقال از بزرگترین ارزش P به دست آورد.

D) بهبود وقوع
دقت شکست می‌تواند با احتمال حالت هر بازه نظارت پیش‌بینی شود. به‌منظور بهبود دقت پیش‌بینی، ارزش محتمل‌ترین و مسیر وضعیت مطلوب استخراج شده و انتقال حالت با استفاده از الگوریتم ویتربی [17] محاسبه می‌شود. احتمال تمام مسیرها در حالت پیش بینی (PS) می‌توان با ضرب جلو (FI) و ضرب عقب مانده (BT) محاسبه شود. ضرب جلو به‌صورت زیر محاسبه می‌شود.

مقاله انگلیسی رایگان

ترجمه فارسی رایگان 

بخشی از ترجمه فارسی مقاله:

چکیده
زنانی که از دیابت دوران بارداری رنج میبرند (GDM) در خطر توسع ی دیابت نوع دوم هستند. اما سطح این خطر و زمان بندی پیشرفت از نوع نرمال به حالت پیش دیابتی هنوز به صورت واضح مشخص نشده است. در این مطالعه ما تلاش داریم تا داده هایی را از مطالعه های طولی در گروهی از زنان که پیشینه ی GDM دارند را بررسی کنیم، که این زنان تحت تست های میزان تولرانس گلوکز خوراکی ( OGTT) در برنامه های سالانه قرار گرفته اند و 5 سال بعد از این تست مورد پیگیری قرار گرفته اند. مدل سازی های سه حالته ی مارکوف برای نشان دادن دینامیک تغییرات بین حالت های متابولیک ایجاد شده است. ما از این داده ها استفاده کردیم تا به صورت تجربی پارامتر های تغییر کننده در یک سال را در مدل تخمین بزنیم و پیش بینی هایی در مورد متابولیسم های گلوکز بعد از این بررسی که میتواند در سه سال یا پنج سال موجب T2DM شود را ایجاد کنیم. نتایج نشان میدهد که سوژه هایی که متابولیسم گلوکز آن ها چند ماه بعد از زایمان با مشکل رو به رو است( 10% ) به ندرت در سه سال بعد به این مشکل دچار خواهند بود. زمانی که میزان تولرانس گلوکز آن ها بعد از زایمان بالا است احتمالا بالایی ( 0.80) دارند که به همین صورت در سه سال بعدی زایمان باقی بمانند.

تحلیل داده ها
زنجیره ی مارکوف
یک زنجیره ی مارکوف (MC) یک روش تصادفی ساده است که معمولا برای بررسی پدیده های غیر قطعی شامل زمان، از آن استفاده میشود. در یک فرآیند تصادفی تغییرات حالت ( مقادیر فرآیند ها) توسط قوانین احتمالات کنترل میشود. این قوانین توصیف کننده ی مقادیر فعلی و مقادیر آتی فرآیند ها از نظر پیشینه وضعیت قبلی شان هستند که به آن قوانین انتقال گفته میشود. یک زنجیره ی مارکوف، به خصوص یکی از قوانین انتقال را دارد که بیشترین وابستگی را به اخرین وضعیت های گذشته ی فرآیند دارد و پیشینه ی کلی فرآیند را در نظر نمیگیرد.

بخشی از مقاله انگلیسی:

Abstract

Women with gestational diabetes mellitus (GDM) are at increased risk of developing type 2 diabetes (T2DM). However, the degree of risk and the timing of progression from normal to a pre-diabetic or diabetic state have not been clearly quantified. In this study we analyzed data from a longitudinal study on a group of women with a history of GDM, that were inserted in an oral glucose tolerance test (OGTT) annual screening program and followed up for 5 years after partum. A three state Markov chain model was proposed to represent the dynamics of changes between metabolic states. We used the data to empirically estimate the one-year transition parameters of the model and make predictions about the possibility that women with normal glucose tolerance or impaired glucose metabolism just after partum will develop overt T2DM in three or five years. Results show that subjects with an impaired glucose metabolism few months after partum will hardly (10%) be in the same state after three years. Women with normal glucose tolerance after partum will have a high probability (0.80) to be in the same state three years after.

Methods

Oral Glucose Tolerance Test

After an overnight fast, all women underwent a standard 75-g OGTT. Venous blood samples were collected immediately before glucose ingestion (fasting sample, t = 0) and at 10, 20, 30, 60, 90, 120, 150 and 180 min afterwards for glucose, insulin and C-peptide measurements.Data analysis Markov chains A Markov chain (MC) is a simple stochastic process often used to model uncertain phenomena evolving in time. In a stochastic process changes of state (value of the process) are governed by probabilistic laws. The laws describing present and future values of the process in terms of its past state history are called transition laws. A Markov chain, specifically, is characterized by transition laws depending only the most recent past state and not on the whole past history.

مبتدی (مناسب برای درک مفهوم کلی مطلب) 

با این وجود، می توان پیچیدگی را بدون از دست دادن انسجام و با تمرکز بر روندهای بسیار بحرانی بیماران انجام داد. در این مطالعه، هر دو روند اولیه و ثانویه بیماران در نظر گرفته شده اند.

3. تحلیل داده ها
سوابق کامپیوتری بیمارستان از همه پذیرشهای FCA در سال 2003 برای تحلیل الگوی ورود بیماران جدید استفاده شد. همچنین روند بیماران با استفاده از این داده ها سنجیده شد، در نتیجه توزیع های LOS و مسیریابی های مختلفی در CCU و NC تعیین شد.

3.1. ورود بیماران
داده های قبلی نشان می دهد که جمع تعداد نوسانات ورودی های سالانه (روند بیماران اولیه) تقریبا 3000 می باشد. در سال 2003، جمع تعداد ورودی ها در FCA تعداد 2838 بود. پس میانگین تعداد بیمارانی که در هر روز وارد می شوند 7.78 می باشد. ورودی های برنامه ریزی نشده در FCA به عنوان یک فرایند پواسون با شدت l=7.78 مدل شده است. شکل 2 را ببینید. فرضیه ورود پواسون برای تناسب در مطالعات ورودی های برنامه ریزی نشده نشان داده شده است.(19)
FCA با زمان اختلاف ورودی در طول روز مشخص شده است. در نتیجه، الگوی ورود در طول 24 ساعت تعیین شده است.شکل 3 را ببینید. به ترتیب، 14.55 و 31% همه ورودی های بیماران در فاصله 00.00-08.00 ، 08.00-16.00 و 16.00-24.00 می باشد.
همچنین LOS در FCA (±6 h) ترتیب مشابهی با طول فاصله در الگوی ورودی (8h) دارد که اثرات انتقالی رخ می دهد. جریان ثانویه بیماران نیز زمانبندی نشده است و مانند فرایند پواسون با پارامتر l=1.37 مدلسازی شده است.

3.2. مسیریابی
در بخش 2، مسیریابی های مختلف بیماران در یک فلوچارت نشان داده شد. این مسیریابی ها در جدول 1 اندازه گیری شده است. به آلارم دادن مقدار بیماران پذیرش نشده توجه کنید. به طور کلی، درصد بالایی از بیمارانی که پذیرش نشده اند برای بخش اورژانس غیر عادی نبوده اند(10). در نتیجه، سازمان مراقبتی اورژانس موضوع مهمی برای متخصصین، مدیران و خط مشی گذاران بیمارستان است. بیمارانی که پذیرش نشده اند، به عنوان درصد مجموع تعداد FCA و فقط در روند اولیه بیماران دیده شد. کلمه «بیماران پذیرش نشده» کمی گمراه کننده است.
تمام بیماران رسیده برای مداوای اولیه در FCA پذیرش می شوند. بعد از این کمک اولیه، به علت نبود تخت در انتهای این زنجیره، بعضی از بیماران بایستی به بیمارستان های اطراف منتقل شوند. این آن چیزی است که ما عدم پذیرش می نامیم.

3.3. توزیع زمان اقامت
تعداد روزهای ماندن در بیمارستان برای یک بیمار، طول مدت اقامت(LOS) نامیده می شود. در ارتباط با زمان خدمات صنعتی، توزیع LOS با تغییرات نسبتا زیاد و دنباله سنگین شناخته می شود. در نظریه احتمال، ضریب تغییرات (CV) معیار پراکندگی یک توزیع احتمال است.این به عنوان نسبت انحراف معیار (σ) با میانگین (μ) می باشد:

این ضریب یک معیار مهم در توضیح فرایندهای مراقبت سلامت است. مقدار CV همیشه ≥1 است. برای توزیع نمایی CV برابر یک می باشد. عامل مهم دیگر این است که LOS ( اندازه گیری شده) یا واقعی عموما با LOS نشان داده شده توسط متخصصین بیمارستان نیست. دلایل لجستیکی و پزشکی LOS را تعیین می کنند. بین این دو تفاوت وجود دارد، LOS اضافی اغلب در اثر تراکم یا تاثیرات زنجیره ای ایجاد می شود (11). وقتی یک بیمار آماده انتقال به واحد دیگری است و هیچ تخت خالی وجود ندارد، بیمار در این حالت باقی می ماند و منتظر آزاد شدن تخت می شود. این نوع تراکم نیز بین بیمارستانها و سار موسسات مراقب سلامت مثل خانه های پرستاری اتفاق می افتد.به عبارت دیگر، یک قسمت معینی از یک LOS از زمان اضافی تشکیل می شود(2). این کسر جزئی اغلب بسیار حیاتی است؛ اندازه گیری مقدار 20-30% کل LOS را نشان می دهد.
در سه بخش بعدی، مقایر LOS آورده شده است که از سیستم اطلاعاتی بیمارستان کسر شده اند، در نتیجه متناسب با LOS واقعی، شامل زمان اضافی می شوند.

3.3.1. کمک های اولیه قلبی (FCA)
برای تعداد 2401 نفر یعنی 85% ورودی ها مقدار LOS ثبت شده است. مقدار ALOS در FCA به اندازه 6.4h است و بیماران هرگز بیش از 24h اقامت ندارند. میانه آن 5h است و ضریب CV برابر 0.7 است.

3.3.2. بخش مراقبتهای قلبی (CCU)
در CCU، دو نوع مریض شناسایی شد. اولین گروه شامل روند اولیه بیماران می شود که در FCA به بیمارستان وارد می شوند. روند بیماران دوم شامل PTCA اورژانس می شوند. شکل 1 را ببینید. ALOS در روند اولیه بیماران در CCU به مقدار 67h می باشد، میانه 48h و ضریب تغییرات برابر 0.99 می باشد.
برای روند دوم بیماران، ALOS مقدار 18h و میانه 5 می باشد، که نسبتا مقایسه کوچکی با روند بیماران اولیه در CCU دارد. با این وجود، تغییرات بسیار چشمگیر است CV=2.6. تقریبا 80% همه بیماران (گروه 1، N=394) h بین 12 ساعت در بیمارستان اقامت دارند. باقیمانده 20% (گروه2، N=100)مدت اقامت طولانی شده ای در بیمارستان دارند و منابع قابل توجهی را اشغال می کنند. ما این تقاضا را به عنوان مصرف نهایی منابع (TRC) تعریف می کنیم که به عنوان جمع همه مقادیر LOS انفرادی هر دو گروه می باشد. TRC گروه 1و 2 به ترتیب 19 و 81 درصد می باشد.پس ما می بینیم که تقریبا 80% منابع موجود فقط توسط 20% بیماران مصرف می شود.

مقاله انگلیسی رایگان

ترجمه فارسی رایگان 

بخشی از ترجمه فارسی:

براي توصيف انتقال ذرات در امتداد مختصات اصلي در يك آسياب و انتقال ذرات از يك بخش به بخش ديگر مدل زنجيره اي دو بعدي Markov پيشنهاد شده است كه با استفاده از اين مدل مي توان تمام پارامترهاي خردايش در يك آسيا كه به صورت پيوسته كار مي كند براي يك حالت پايدار و همچنين براي يك دوره گذار محاسبه كرد.در اين مدل با استفاده از ماتريسي كه از خردايش و دانه بندي تشكيل شده است به طور معمول براي توصيف اين فرآيند استفاده مي شود.
بحث
هدف از اين تحقيق دستيابي به يك مدل رياضي براي محاسبه و تجزيه و تحليل خردايش پيوسته همراه با حركات تصادفي ذره در داخل آسياب است از آنجا كه فرايند خردايش نيز يك فرآيند تصادفي است بنابراين ما انتطباق اين دو فرآيند تصادفي را خواهيم داشت و ابزار مناسبي كه براي اين منظور استفاده مي شود استفاده از زنجيره ماركوف است.تئوري ماركوف براي مدل سازي دانه بندي و خردايش موفق بود.در عين حال با مشكلاتي نيز همراه بود.
زنجير ماركوف نمونه يك فرآيندي است كه با در نظر گرفتن فضاي نمونه اي از يك مسئله (مجموعه از همه نتايج ممكن از يك فرآيند تصادفي) محدود مي شود.مدل زنجيره اي ماركوف وقتي كه زمان به صورت مقادير مجزا داده شود ساده مي شودولذا ماتريس احتمال انتقال ذره و ماتريس جبر ابزار اوليه براي مدل سازي يك فرآيند مي باشد.استفاده از اين مدل براي محاسبه زمان ماند توزيع ذرات در داخل آسياب هاي مختلف وبراي پارامتر هاي ديگر خردايش مناسب بود با اين حال اين مدل ها در مختصات فضايي و تغيير در اندازه ذرات به طور جداگانه بررسي شده است.
اصل مفهوم و معادلات حاكم
به منظور ساخت يك مدل ساده با فرض اينكه جريان ذرات از يك فضاي خردايش به وسيله يك مدل يك بعدي با مختصات Y توصيف شود.همچنين با فرض اينكه طول آسياب از n بخش و n فضا از سلول هاي كاملاً مخلوط تشكيل شده است.توزيع انداز ذرات با بخش هايي با اندازه m و با عرض محدوداست.بنابراين يك ذره در داخل آسياب مي تواند متعلق به يكي از بخش هاي فضايي با توجه به رنج اندازه ذرات در نظر گرفته شده باشد.كه حالت كلي اين فرآيند در شكل يك نشان داده شده است.
تعداد m×n سلول ارائه شده در داخل آسياب (خردايش) است. همچنين يك ستون بيشتر از سلول هاي مشخص شده با شاخص “a ” و به عنوان حالت جاذب (ذرات كوچكي كه به هم جذب شده اند) نشان داده شده است كه مجموعاً 2D آرايه از سلول ها با ابعاد m×(n+1) تشكيل شده است.مجموعه فضاي نمونه اي سلول هاي تشكيل شده در اين مسئله :شعامل تمامي فرآيندهاي تصادفي حركت يك ذره به داخل آسياب به بخش هايي با اندازه بزرگتر.يك ماتريس بايد مجموعه اي از احتمالات كه ممكن است به وجود آيد را داشته باشد به طوري كه ماتريس S_ij احتمال اينكه ذره در سلول ij اشغال شده است را نشان مي دهد و بديهي است كه جمع تمامي اين احتمالات برابر صفر است.
هدف از يك مدل با در نظر گرفتن زمان به صورت پيوسته پيش بيني حالت ماتريس در يك لحظه از زمان tاست اگر ماتريس داده شده در t=T_0 (معمولاً0= T_0) است با اين حال مدل زير با گسسته گرفتن لحظات2 و k=1 وk∆t= t_k كه در آن ∆t مدت زمان انتقال يا زمان انتقال است .بنابراي هدف از اين مدل سازي پيش بيني حالت ماتريس بعد از k انتقال است در صورتي كه حالت اوليه ماتريس داده شده باشد.تغييري كه در حالت ماتريس بعد از انتقال صورت مي گيرد ناشي از انتقال ذرات به سلول ديگر است (پيكان هاي شكل يك)در هر حال يك ذره احتمال دارد كه در داخل سلول بماند با اندازه ديگري در ستون جابجا شود (خردايش صورت بگيرد)و انتقال رو به جلو و يا عقب در داخل رديف داشته باشد.
انتقال در داخل ستون با هر اندازه كوچكتر نسبت به اندازه اوليه (j=1 مربوط به بزرگترين بخش اندازه وكوچكترين اندازه -j = ) انتقال به بخش فيزيكي مربوط به سلول هاي همسايه است.يك ذره در يك سلول مي تواند احتمال انتقال معيني را داشته باشد كه مجموعه اي از تمامي اين احتمالات انتقال به شكل ماتريس p نشان داده مي شود
ماترس p متشكل شده است ازn+1) )× (n+1) بلوك كه ماتريس قطر اصلي ان شامل ماتريس احتمال انتقال در درون ستون كه اندازه آن m×m است و ماتريس احتمال انتقال براي انتقال رو به جلو و عقب در رديف هاي سلول (بين ستون ها)كه در همسايگي قطر اصلي قرار مي گيرند.بنابراين اندازه ماتريس p شامل m(n+1)×m(n+1) مي باشد.ستون هاي مربوط به حالت جذب توسط ماتريس واحد I ارائه شده استI=.P_aa هر ستون از ماتريس P حاوي همه امكان احتمال انتقال براي سلول ij است.براي توصيف احتمال انتقال ماتريس ST از يك حالت به حالت ديگر حالت برداري انتقال يافته ان به شكل زير است.
و اندازه S به شكلm×1 n+1)) است و بعد از انتقال به حالت برداري خواهيم داشت
واضح است كه احتمال انتقال وابسته است به بخشي از اندازه مهمترين مشكل اين است كه آيا آنها وابسته به حالت ذره هستند يا نه.به هر حال ماتريس p مي تواند به صورت مستقل در نظر گرفته شود و مي توان تمامي فرايند مدل سازي را به صورت خطي در نظر گرفت
جاييكه حالت برداري اوليه براي به دست آوردن ماتريس اوليه است.اگر تعداد ذرات در آسياب زياد باشد ماتريس احتمال مي تواند توسط تمامي اين ذرات اشغال شود كه در نتيجه ذرات بر اساس مقداره اندازه و آن بخش از فضايي كه اشغال كرده اند تقسيم بندي مي شوند.اگر بر طبق مشاهدات ما كاملاٌ بخشي از مقدار جرم مد نظر به آسياب تزريق شود و در ابتدا توزيع آن باشد پارامتر هاي فرايند به راحتي مي تواند توسط رابطه هاي زير بيان شود.
مكان توقف ذرات در j امين بخش از فضاي اشغال شده در اسيابهمچنين براي محاسبه حد اكثرظرفيت مكان توقف ذرات در jامين بخش از فضاي داخل آسياب
توزيع بخشي از ذرات به طور كامل در داخل آسياب مانند يك حالت ناپايدار است .يك مورد جالب تر در مورد بار دهي پيوسته به اسياب است با فرض اينكه مقدار مواد در حال تزريق به داخل آسياب بيش از بيش از مقدار سلول هايي است كه توسط ماتريس ST^0 ويا حالت برداري S^0 است.
سلول هاي پر شده از مواد پس از 1،2،3و……Kومجموع همه حالات برداري با مجموعه خودشان داريم

در رابطه بالا براي تمامي حالات ممكن در محفظه خردايش يك توزيع جانبي با حالت پايدار شكل گرفته است.اگر از ماتريس احتمال انتقال و از حالت برداري آن تمامي همه عناصر مربوط به سلول هاي جذب را حذف كنيم ماتريس P_m با اندازه mn×mn و حالت برداري S_m با اندازه mn×1 را خواهيم داشت همچنين وقتي در اين معادله k→∞ ميل مي كند ما يك توزيع مجانب خواهيم داشت.

در رابطه بالا I_m ماتريس واحد به اندازه P_m است همچنين لازم به ذكر است كه روابطه12 و 13 تنها براي حا لت ثابت ماتريس احتمال انتقال در مسائل خطي صحيح است و براي محاسبه پارامترهاي فرآيند در درون آسياب تفاوتي بين S وS_m وجود ندارد و معادلات 8 و 11 به همان شكل اوليه وجود دارند.بنابراين اگر ماتريس P شناخته شده باشد با استفاده از مدل به طور كامل همه پارامترهاي فرآيند نه تنها براي حالت پايدار بلكه براي انتقال دوره اي را نيز مي توان محاسبه نمود.در گام بعد مدل سازي تلاش براي ارتباط عناصر با مدل هاي شناخته شده از خردايش و دانه بندي است.
تجزيه ماتريس انتقال
به منظور كاهش بلوك هاي ماتريس P به بلوك هاي شناخته شده برخي از موارد آن بررسي خواهد شد فرض اول اينكه خردايش در تمام فرآيند اتفاق نمي افتد در اين حالت همه بلوك هاي P_ii قطري مي شود و مفهوم آن اين است كه انتقال با بيش از اندازه واقعي ممنوع مي شود.هر مقدار با اندازه اي بيش از حد به صورت طولي در امتداد آسياب حركت مي كنند.كه اين حركت مي تواند توسط ماتريس C بيان شود كه با در نظر گرفتن شرايطي به ماتريس دانه بندي تبديل مي شود.

فرض دوم اينكه هيچ جريان ذره اي در طول آسياب وجود ندارد كه خردايش مستقلي در هر بخش از فضاي آسياب به ما بدهدو در اين حالت انتقال محوري ذرات وجود ندارد و تنها انتقال عرضي ذرات وجود دارد و ماتريس خردايش آن به شكل زير مي باشد.

بخشی از مقاله انگلیسی:

Abstract To describe the particle transport (including classification) along the main coordinate in a mill and the transition from one fraction to another (grinding), a two-dimensional Markov chain model is proposed. It allows fast calculation of all parameters of continuous grinding process in a mill for a steadystate regime as well as for a transient period. The model employs matrices of grinding and classification that are normally used for description of these processes. The model is based on standard manipulations with matrices that can be done easily using modern computer codes. D 2004 Elsevier B.V. All rights reserved. Keywords: multi-dimensional Markov chain; model kinetics; grinding; internal classification 1. Introduction The objective of the present study is to develop a convenient mathematical tool for computational analysis of a process of continuous grinding accompanied by stochastic motion of particles in a grinding chamber. Since the process of grinding is also a stochastic process, we have a superposition of two stochastic processes that should be described. One convenient tool for this purpose that is at disposal is the theory of Markov chains. A Markov process is a process for which, if the present is given, the future and the past are independent of each other. Sometimes they say that a Markov process bdoes not keep the memory on its pastQ, or characterise it as a process without aftereffect. In terms of differential equations it means that the equations must contain derivatives with respect to time not higher than of the first order. The theory of Markov processes was successfully applied to modelling classification and grinding (Molerus, 1967; Nepomnyastchii, 1973; Pippel and Phillipp, 1977 and many others). However, most of the first papers were devoted to mathematical aspects of the problem, and were very difficult for engineering application. The difficulties usually followed 0301-7516/$ – see front matter D 2004 Elsevier B.V. All rights reserved. doi:10.1016/j.minpro.2004.07.004 * Corresponding author. E-mail address: mizonov@home.ivanovo.ru (V.E. Mizonov). Int. J. Miner. Process. 74S (2004) S307 – S315 www.elsevier.com/locate/ijminpro from presentation of a process as one with continuously distributed parameters and continuous time. In this case the governing equation of the process is a partial differential equation of parabolic type that needs a lot of far going assumptions for obtaining an analytical solution, and usually does not allow describing nonlinear effects. A Markov chain is an important and simple example of a Markov process. It considers the sample space of a problem (the set of all possible outcomes of a random process) to be finite. A Markov chain model becomes particularly simple when it deals with presentation of time as a discrete value. In this case all the description is reduced to the matrix of transition probabilities, and matrix algebra becomes the basic tool for modelling a process.