اکستروپی باقیمانده آماره های ترتیبی

The residual extropy of order statistics

خلاصه
1- مقدمه
2 نتایج اکستروپی و مشخصه های باقی مانده
2-1- باقی مانده اکستروپی
2-2 خصوصیات چندین توزیعي
3- آمار اکستروپی باقی مانده
3-1 خواص مونوتوني
3-2 خصوصیات توزیع های پایه ای آمار سفارش
3-3 نتیجه و بحث بیشتر

خلاصه
آمار غیر مستقیم ، برای اندازه گیری عدم قطعیت باقی مانده از یک متغیر تصادفی، پیشنهاد شده است. خواص مونوتونی و خصوصیات نتایج این اندازه گیری مورد مطالعه قرار گرفت. خصوصیات مشابهی از اندازه گیری پیشنهادی از آمار نظم نیز مورد تحلیل واقع شد.
3- آمار اکستروپی باقی مانده:
آمار سفارش را می توان در بسیاری از زمینه ها استفاده کرد، از جمله استنتاج آماری، آزمون های خوب بودن، قابلیت اطمینان و کنترل کیفیت است. برای مثال، در نظریه قابلیت اطمینان، برای مدلسازی آماری، از آمار مرتبه استفاده می شود. آمار رسمی i در نمونه ای از اندازه n نشان دهنده طول عمر سیستم (n i + 1 -out-of-n )می باشد. اخیرا چندین نویسنده این موضوع را مطالعه کرده اند. از توصیف توزیع زیرزمینی یک نمونه بر اساس آنتروپی و یا نسخه های تعمیم یافته آن از نظم آماراست. باراتپور و همکاران (2007، 2008) نشان دادند که آنتروپی شانون و آنتروپی رنیی از آمار نظم i می توانند توزیع پایه را به طور منحصر به فرد نشان دهند. نتایج مشابهی در براتپور (2010) برای آنتروپی باقیمانده تجمعی از آمار نظم اول در آنتروپی پویا از آمار نظم i ام است. در ابتدا، خواص مونوتوني انتروپی باقی مانده را مطالعه می کنیم و سپس نشان می دهیم که اکستروپی غیرمستقیم از آمار نظم نیز می تواند توزیع اساسی را به صورت منحصر به فرد تعیین کند.

Abstract

Residual extropy was proposed to measure residual uncertainty of a random variable. Monotone properties and characterization results of this measure were studied. Similar properties of the proposed measure of order statistics were also discussed.

3- Residual extropy of order statistics

Order statistics can be used in many fields, including statistical inference, goodness-of-fit tests, reliability, and quality control. For example, in reliability theory, order statistics are used for statistical modeling. The ith order statistic in a sample of size n represents the life length of an (n − i + 1)-out-of-n system. Recently, several authors studied the subject of characterizing underlying distribution of a sample based on the entropy or its generalized versions of order statistics. Baratpour et al. (2007, 2008) showed that Shannon entropy and Rényi entropy of the ith order statistic can characterize the underlying distribution uniquely. Similar results can be found in Baratpour (2010) for cumulative residual entropy of the first order statistic, and in Gupta et al. (2014) for dynamic entropy of the ith order statistic. In this section, we first study the monotone properties of residual extropy, and then we show that the residual extropy of order statistics can also determine the underlying distribution uniquely.

اکستروپی باقیمانده آماره های ترتیبی

The residual extropy of order statistics

مبتدی (مناسب برای درک مفهوم کلی مطلب) 

3. روش تخمین پارامتر
در این بخش، Moment و L-Moment و پارامتر بیشینه تخمین ارائه‌شده است.

3.1 روش تخمین Moment (MoM)
در مفهوم کلی، روش Moment مبتنی بر پارامترهای ناشناخته محاسبه‌شده توسط تساوی مربوط به توزیع Moment به دست آمده است. برای تخمین دو پارامتر توزیع وایبل با استفاده از روش Moment، واریانس ضرایب باید محاسبه گردد. پارامتر شکل برای محاسبه تنوع و تغییرات ضرایب کافی است.
3.3 روش تخمین بیشینه (ML)
روش تخمین بیشینه، غالباً برای پیشگویی در تئوری تخمین توزیع استفاده می‌گردد. روش بیشینه مبتنی بر تابع بیشینه است. به هر حال، تخمین ML، با پارامتر شکل برای دو پارامتر توزیع وایبل می‌تواند به صورت تکراری محاسبه گردد. به همین دلیل، مسئله تکرار می‌تواند محاسبه گردد. پارامتری که رابطه (1) در آن دارای مقدار k است به صورت توزیع ML نشان داده‌شده است.
4. شبیه‌سازی مونت‌کارلو
در این بخش، یک روش شبیه‌سازی مونت‌کارلو برای مقایسه روش استفاده‌شده در تخمین شکل (K) و مقیاس (C) برای توزیع وایبل ارائه‌شده است. در این شبیه‌سازی، سایز نمونه برابر با 30، 100، 500، 1000 و 5000 و 10000 است. مقدار پارامتر شکل برابر با 1، 2، 3.4 و 6 است و مقدار پارامتر مقیاس برابر با 1 است. شکل 1، نشانگر احتمال توزیع مرتبط با دو پارامتر توزیع وایبل برای مقادیر متفاوت پارامتر شکل است.
جدول 1 نشانگر نتایج شبیه‌سازی به دست آمده برای پارامترهای شکل و مقیاس و برای تمام این نمونه‌ها است. همان طور که می‌توان از جدول 1 دانست، بهترین برآورد توسط L-Moment با پیش‌بینی حجم نمونه تا 30 واحد است. شکل‌های مختلف و مقیاس پارامترها توسط روش ML دارای برآورد بهتری نسبت به پارامتر K است که دارای حجم نمونه 100 است. همان طور که برای برآورد پارامتر مقیاس C می‌توان از سه تفاوت موجود استفاده کرد. در مواردی که توزیع مورب و متقارن در روش ML نسبت به روش‌های دیگر ترجیح داده می‌شود.

5. تخمین پارامتر برای داده واقعی باد
در این مطالعه، پارامتر توزیع برای داده واقعی باد تخمین زده شده است. مجموعه داده که به Bilecik Province تعلق دارد و در تابستان 2008 جمع‌آوری شده است از ترکیه بوده است.
در رابطه بالا، Vw، نشانگر سرعت باد در متر بر ثانیه است و Vr نشانگر سرعت باد گارانتی شده در متر بر ثانیه است. Hw نشانگر ارتفاع قابل انتظار در متر است و Hr نشانگر ارتفاع است و آلفا، نشانگر شرایط سطحی است [26]. ضرایب آلفا، تعیین می‌گردد مطابق با شرایط سطحی. در این مطالعه، مقدار آلفا برابر با 0.34 است (برای اطلاعاتی در مورد آلفا منبع [27] را ببینید).
A2 محاسبه‌شده به صورت 3.25 تا بتواند در تهیه داده سرعت باد در 10m و 30m مورد استفاده قرار گیرد. P-Value مرتبط با A2 بزرگ‌تر از 0.01 است. این می‌تواند نشان دهد که سرعت باد در 10 و 30m مناسب توزیع وایبل است. شکل 2، نشانگر توزیع داده سرعت باد است.
جدول 2، نشانگر پارامتر پیشگویی به دست آمده با MoM و L-MoM و ML است که در آن داده سرعت باد، در تابستان 2008 از Bilecik Province به دست آمده است.
مقدار چگالی هوای استاندارد به صورت 1.22 در 15 درجه محاسبه‌شده است [31]. در فرمولی برای تخمین چگالی قدرت باد، مقدار استاندارد چگالی هوا، به 1.22 تنظیم شده است. علاوه بر این، چگالی قدرت باد، مطابق با سرعت داده مدل‌سازی شده است و آن مطابق با سه روش متفاوت نمایش داده‌شده در جدول 3 است.
همان طور که از این یافته‌ها مشهود است، تراکم نیروی محاسبه‌شده ارزش در برآورد پارامتر به دست آمده، اثبات شده است. با در نظر گرفتن، یافته‌های جدول 2 و 3، چگالی توان پارامتر را می‌توان نشان داد. روش ML نتایج بهتری را در مقایسه با روش‌های دیگر نشان می‌دهد (قابل اثبات از بخش 3). به عنوان مجموعه داده از 2200 مشاهده، جمع‌آوری شده با روش ML استفاده‌شده است.

رگرسیون غیر پارامتری در R

Nonparametric Regression in R

مبتدی (مناسب برای درک مفهوم کلی مطلب)

F1895

رابطه اعتبار آموزش و درآمد به نظر می رسد، به ویژه در جهت درآمد غیر خطی باشد (به خطوط شبکه در سطح رگرسیون نگاه کنید). رگرسیون جزئی در جهت هر یک از پیش بینی ها به نظر می رسد بسیار تغییر نکند، همانطورکه پیش بینی کننده دیگر متفاوت است، پیشنهاد می کند که مدل افزایشی برای این داده ها ممکن است مناسب باشد. ما چنین مدل زیر را در نظر می گیریم.
ما همچنین می توانیم اهمیت آماری هر پیش بینی کننده با حذف آن از مدل و انجام یک تست F-تقریبی افزایشی برای تغییر در مجموع باقیمانده مربعات بررسی کنیم. در تناسب مدل های جداگانه مذکور، دامنه رگرسیون های ساده محلی را به تنظیم کردیم.
اسپلاین های صاف
اسپلاین های صاف به عنوان راه حل برای مشکل ساده رگرسیون زیر مطرح می شوند: یافتن عملکرد bm (x) با دو مشتقۀ پیوسته که مجموع مربعات جریمه را به حداقل می رساند.

که h یک پارامتر صاف است، مشابه با عرض محله از برآوردگر چند جمله ای محلی است.
• اولین اصطلاح در معادله 1، مجموع باقیمانده مربع ها است.
• اصطلاح دوم یک مجازات شدیدی است که بیشتر می شود زمانیکه مشتقات ثانویه یکپارچه از تابع رگرسیون m00 (x) بزرگ است / یعنی زمانی که m (x) ‘خشن’ است (به سرعت شیب در حال تغییر است). انتهای انتگرال داده ها را محصور می کند.
• در حالت افقی، زمانی که ثابت صاف برای h = 0 تنظیم شده است (و اگر همه مقادیر x- متمایز باشند) ، bm (x) صرفا اطلاعات را درهم می زند؛ این شبیه به برآورد محلی رگرسیون با فاصله = 1 = n است.
• در حالت افقی دیگر، اگر h بسیار بزرگ باشد، سپس bm انتخاب خواهد شد تا bm00 (x) در همه جا 0 باشد، به این معنی است که حداقل مربعات خطی در سطح جهانی متناسب با داده است (رگرسیون محلی با محله های بسیار گسترده معادل است).
تابع bm (x) که معادله 1 را به حداقل می رساند یک اسپلاین مکعبی طبیعی با گره در مقدار متمایز مشاهده شده x5 می باشد . اگرچه این نتیجه به نظر می رسد که پارامتر n مورد نیاز است (هنگامی که تمام مقادیر x متفاوت هستند)، شدت مجازات محدودیت های بیشتری بر روی راه حل ها تحمیل می کند، که به طور معمول، تعداد معادل پارامترهای اسپلاین صاف را به طور قابل توجهی کاهش می دهد، و از bm (x) در تغیر داده ها جلوگیری می کند.
در واقع، انتخاب پارامتر صاف h به طور غیرمستقیم با تنظیم تعداد معادل پارامترها برای صاف کننده رایج است. زیرا یک تابع هدف صریح برای بهینه سازی وجود دارد، اسپلاین صاف بطور ریاضی از رگرسیون محلی ظریف تر است. به هر حال، کلی کردن اسپلاین های صاف به رگرسیون چندگانه، 6 سخت تر است و اسپلاین-صاف و رگرسیون-محلی با تعداد مشابه معادل پارامترها معمولا بسیار شبیه متناسب هستند.
یک تصویر در شکل 3 ظاهر می شود، مقایسه یک اسپیلین صاف با یک خط محلی متناسب با اجرای تعداد مشابه پارامترهای معادل (درجه آزادی) می باشد. ما از تابع نرم –اسپلاین همراه با یک مدل قبلی لس برای نشان دادن تناسب های جایگزین (هر کدام با 3.85 معادل پارامترها) به رابطه اعتبار با درآمد استفاده می کنیم:
ما رگرسیون خطی محلی را با استفاده از پیش بینی برای محاسبه مقادیر 100 متناسب در دامنه درامد، محاسبه می کنیم. دو مسطح بسیار شبیه هستند: خط تجزیه تناسب خطی محلی است؛ خط جامد اسپلاین صاف است.
2.3 انتخاب پارامتر صاف
هر دو رگرسیون محلی-چند جمله ای و اسپلاین های صاف دارای پارامتر صاف قابل تنظیم هستند. این پارامتر ممکن است با آزمایش و خطای بصری انتخاب شود، با انتخاب یک مقدار که صافی را در مقابل وفاداری به داده ها متعادل می کند.
روش های رسمی تر انتخاب پارامترهای صاف معمولا برای به حداقل رساندن خطای مجذور مربع تناسب، یا با استفاده از یک فرمول تقریبی از خطای مجذور مربع (مثلا، برآورد به اصطلاح افزونه) یا برخی از فرم های اعتبارسنجی متقابل تست می شود.
در اعتبارسنجی متقابل، داده ها به زیر مجموعه ها تقسیم می شوند (احتمالا شامل مشاهدات فردی)؛ این مدل به طور پیوسته متناسب هر زیر مجموعه را به نوبه خود حذف می کند؛ و سپس مدل متناسب برای پیش بینی پاسخ برای زیر مجموعه چپ استفاده می شود. تلاش برای این روش برای مقادیر مختلف پارامتر صاف مقداری را پیشنهاد خواهد داد که برآورد متقابل اعتبار سنجی خطای مجذور مربع را به حداقل می رساند . زیرا اعتبار سنجی متقابل بسیار محاسباتی است، تقریب ها و تعمیم ها اغلب استفاده می شود (به عنوان مثال، به وود ، 2000، 2004 مراجعه کنید).
2.4 رگرسیون غیر پارامتری افزودنی

مدل رگرسیون غیر پارامتری افزودنی است که توابع رگرسیون-سهمی mj با استفاده از یک رگرسیون ساده صاف تر مانند رگرسیون چند جمله ای محلی یا اسپلاین های صاف متناسب می شوند. ما رگرسیون اعتبار در درآمد و آموزش، با استفاده از تابع gam در بسته mgcv را توضیح دادیم (وود، 2000، 2001، 2004، 2006):
تابع s که در تعیین فرمول مدل استفاده می شود، نشان می دهد که هر شرایط متناسب با اسپلاین صاف است. درجه آزادی برای هر شرایط توسط اعتبار سنجی متقابل کلی یافت می شو.
در این مورد، معادل 3: 118 پارامتر برای مدت درآمد استفاده می شود، و 3: 177 برای دوره آموزشي؛ درجه آزادی برای مدل مجموع این اضافه 1 برای رگرسیون ثابت است.
داده های قبلی، داده های جدید را قاب بندی می کنند، مقادیر پیش بینی شده بر روی سطح رگرسیون جهت یافتن استفاده می شود، زودتر برای طراحی شکل 2 (صفحه 7) برای چندین مدل رگرسیون غیر پارامتری کلی متناسب با داده های مذکور محاسبه می شود. دو تناسب کاملا مشابه هستند. علاوه بر این، به دلیل اینکه بخشهای سطح رگرسیون افزودنی در جهت پیش بینی کننده (نگه داشتن ثابت پیش بینی کننده دیگر) موازی است، آن برای رسم هر تابع جزئی رگرسیون به طور جداگانه کافی است. این مدل فضیلت عملی افزودنی-رگرسيون است: این مسئله رگرسیون چند بعدی (در این مورد، فقط سه بعدی) برای یک سری از دو بعدی گراف های رگرسیون جزئی را کاهش می دهد. روش نمونه برداری برای اجزای gam این نمودار ها را تولید می کند، پاکت اطمینان 95 درصد اطمینان در اطراف تناسب نشان می دهد (شکل 5):

مبتدی (مناسب برای درک مفهوم کلی مطلب) (ترجمه به صورت ناقص انجام شده است)

نمودار کنترل CUSUM اولیه در قالب یک ” V- ماسک” بود، که به مقادیر مجموع تجعمی رسم شده اعمال شده است. V- ماسک توسط خطاهای نوع 1 و نوع 2 مشخص شده و میزان تغییر برای تشخیص دادن آنها ساخته شده است. از این ورودی ها، پارامترهای V- ماسک ممکن است تعیین شوند. ماسک سپس از کاغذ ضخیم یا مقوا برش داده می شود و در آخرین مقدار CUSUM رسم شده قرار داده می شود. در صورتی که تمام نقاطی که قبلا رسم شده اند در داخل فضای باز ماسک (که مانند نامه بریده شده به شکل ” V ” به نظر می رسد) قرار گیرند، هیچ علت استنادپذیری از تغییرات ارائه شده فرض نمی شود. در غیر این صورت، شرط خارج از کنترل نشان داده می شود. جزئیات شکل V- ماسک از CUSUM در مرجع مونتگمری [5] شرح داده شده است.
تحقیقات بر روی مدل اقتصادی برای نمودارهای CUSUM زمانی آغاز شد که مرجع تیلور [6] برای اولین بار مدل اقتصادی نمودار CUSUM را معرفی کرده است، اما روش او نیاز دارد که فاصله نمونه برداری و اندازه نمونه به منظور حل مدل از قبل مشخص شده باشد. گوئل و واُ [7] مدل علت استنادپذیری، مشابه مرجع دانکن را برای نمودار CUSUM توسعه داده اند. همچنین آنها به تحلیل حساسیت در برخی از پارامترهای مدل پرداخته اند. چیو [8] روش های قبلی در مدل سازی اقتصادی CUSUM را توسط کار با فرم تحلیلی CUSUM به جای نسخه V- ماسک اصلاح کرده است. مزایای که فرم تحلیلی می دهد شامل محاسبات ساده تر و درک ساده تر اپراتور است.
در سال های اخیر، تعداد زیادی از تحقیقات برای توسعه طرح نمودار کنترل اقتصادی موفق بوده است، اما تعداد کمی در صنعت اجرا شده است. برخی از دلایل مشخص شده در سانیگا و شیرلند[9] و چیئو و وتثریل [10]، بیان می کند که مدل های ریاضی پیچیده هستند و پارامترهای ورودی مدل بیش از حد و اغلب برای برآورد مشکل می باشند. از دیگر موارد اشاره شده در مقالات، فرضیات استفاده شده در توسعه مدل های اقتصادی می باشد که در شرایط واقعی اعمال نشده است.
راه حل مشکلات پیاده سازی مدل اقتصادی سطحی سازی بطور پیوسته می باشد. به دلیل علاقه در کنترل کیفیت، نرم افزار محاسبه کنترل کیفیت آماری بطور گسترده ای از مدل های نسبتا ساده استفاده می کند. اگرچه پارامترهای ورودی ممکن است در برخی از موارد برای برآورد دشوار باشند، مونتگومری [11] اشاره کرده است که پاسخ هزینه نسبتا ثابت و بطور کلی به خطاهای برآورد پارامتر حساس نمی باشد. کاهش تعداد و دقت موردنیاز پارامترهای ورودی توسط مونتگومری [12]، وان کالنی [13]، مونتگومری و استورر [14] و پیگناتی لو و تسای [15] مورد مطالعه قرار گرفته است.
پیشرفت قابل اجرای این مدل ها در موقعیت های واقعی نیز بدست آمده است. اخیرا مدل های اقتصادی پیشنهادی، مانند، لورنزن و وانس [16]، برای نوعی از نمودار کنترل استفاده شده و توزیع علت استنادپذیر فرض شده کاملا قدرتمند هستند. قبل از مدل لورنزن و وانس (LV) که معرفی شده اند، مدل های اقتصادی می توانستند تنها برای X-بار و نمودارهای معیوب کسر استفاده شوند. از آنجایی که مدل LV شامل متوسط انتقال مشخص و صفر در مدت اجرا می باشد، بسیاری از نمودارهای کنترل می توانند استفاده شوند. انحرافات از زمان نمایی فرض شده مرسوم بین وقایع در طرح های اقتصادی توسط هوو [17] . بنجری و رحیم [19,18] مورد مطالعه قرار گرفته است. بطور خاص با توجه به مدل LV، مک ویلیامز [20] نشان داد که طرح آنها کاملا غیرحساس به توزیع فرض شده است. او تجزیه و تحلیل حساسیت را در عملکرد، برای توزیع علت استنادپذیر غیر نمایی توسط مدل LV تحت توزیع وایبول با پارامترهای مختلف انجام داده است. او متوجه شد که مدل LV به توزیع علت استنادپذیر وایبول غیرحساس بود. این یافته دلیلی برای استفاده از مدل LV در شرایطی که نیاز به یک چارچوب قدرتمند است می باشد.

3 . طرح اقتصادی لورنزن و وانس
مدل لورنزن و وانس انعطاف پذیری بیشتری برای هر یک از مدل های علت استنادپذیر موجود شناخته شده ارائه می دهد. با استفاده از متوسط مدت اجرا بجای خطاهای نوع 1 و نوع 2، LV اجازه می دهد تا تحلیل گر بتواند هر نوعی از متغیر یا نمودار کنترل کیفی را انتخاب کند. نویسندگان متغییرهای نشانگر در مدل را برای شناسایی موارد تولید یا در طول جستجو و یا مرمت ادامه می دهند، بطوری که هر سناریوی عملیاتی ممکن بتواند بطور مناسبی مدل شود.
مدل LV شامل سه نوع نرخ هزینه در فرمول می باشد: (1) هزینه تولید ترم های غیرهمگن ، (2) هزینه آلارم های نادرست و جستجو و مرمت علت استنادپذیر درست و (3) هزینه نمونه برداری. پارامترهای طرح نمودار کنترلی CUSUM برای اندازه نمونه مدل LV (n)، فاصله نمونه برداری (h)، فاصله تصمیم گیری (H) و مقدار مرجع (K) برای به حداقل رساندن هزینه مورد انتظار در هر ساعت توسط تابع انتخاب می شوند.ECT نشان دهنده دوره زمانی مورد انتظار است، که زمان پی در پی بین دوره های کنترل شده می باشد. جدول 1 به شرح هر یک از پارامترهای مدل می پردازد و همچنین تعاریف ترم های دیگر در این مقاله را بیان می کند.
جستجوی ترکیب های ممکن متغییرهای تصمیم گیری n، H، K و h برای یافتن مقادیر بهینهn^*.H^* .K^* و h^* برای به حداقل رساندن هزینه ساعتی انجام می شود. روش بهینه سازی شامل جستجوی شبکه در n، H و K و یک جستجوی بخش طلایی در h برای به حداقل رساندن هزینه ساعتی مورد انتظار می باشد. افزایش شبکه ها از طریق بررسی انحراف هزینه ها بین طرح های جایگزین در ناحیه برای به حداقل رساندن هزینه ساعتی تعیین می شود. شبکه های کوچک مناسب، شبکه هایی هستند که دارای 50 طرح جایگزین در 5 درصد هزینه بهینه تمام سناریوها می باشند. نتایج شبکه شامل اندازه های نمونه در محدوده 1 تا 12 می باشد. مقادیر فاصله تصمیم گیری دارای محدوده 0.5 تا 6.5 با افزایش پله ای 0.5 است. مقدار مرجع بین 0.125 و 1 با افزایش پله ای 0.125 قابل تغییر است. متوسط نمودار کنترل CUSUM در مدت اجرا با استفاده از روش زنجیره مارکوف بروک و اوانز [21] محاسبه می شود. از آنجایی که روال کار ماتریس معکوس، زمان محاسبات را افزایش می دهد، جداول ARL برای ترکیب های مختلف n، H، K و تغییر در میانگین فرآیند (d) توسعه داده می شوند و روش مراجعه به فایل برای اجرای بهینه سازی استفاده می شود.

4 . تحلیل حساسیت
با بررسی معادله هزینه برای مدل LV واضح است که، اگرچه ترم های بطور کامل اقتصادی فرآیند نمودار کنترل را توصیف می کنند اما پارامترهای زیادی برای برآورد وجود دارند. هدف از تحلیل حساسیت تعیین محرک های کلیدی هزینه و چهار متغیر تصمیم گیری نمودار کنترل است. ما در اجرای طراحی و تحلیل آزمایشی از دوازده زمان و پارامترهای ورودی هزینه استفاده کرده ایم. جدول 2 توصیفی از ورودی ها را ارائه می دهد و نشان می دهد که بخش (s) این مدل هر ورودی را تحت تاثیر قرار می دهد. متغییرهای پاسخ عبارتند از مدل ورودی، هزینه های مورد انتظار در هر واحد زمانی و متغیرهای تصمیم گیری نمودار کنترل هزینه بهینه که خود متشکل از فاصله تصمیم گیری CUSUM، مقدار مرجع CUSUM، فاصله نمونه برداری و اندازه نمونه است، می باشد. ما به مطالعه پاسخ های متغیر تصمیم گیری بطور جداگانه برای درک اثراتی که ورودی ها در طراحی هزینه بهینه دارند پرداخته ایم.
آزمایش های اولیه توسعه داده شده اند و با دو مثال مختلفی که از قبل منتشر شده، اجرا شده اند. این مثال ها برای اولین بار در مقاله LV [16] و در مونتگمری [5,P.45] بیان شده است و در مجموعه متفاوتی از سناریوهای واقعی ارائه شده است. از آنجایی که هزینه مورد انتظار در هر واحد زمانی پاسخ مورد علاقه اولیه ما است، آزمایشات تکمیلی با استفاده از سناریوهای مختلف منتشر شده قبلی برای تعیین تغییر ورودی های کلیدی انجام شده است. در نهایت، تجزیه و تحلیل درستی و نادرستی با استفاده از سناریوی توسعه داده شده توسط نویسندگان انجام شده است.
آزمایشات حساسیت برای مثال هایی با استفاده از دو محدوده تغییر فرآیند ممکن طراحی شده است. شرط تغییرات کوچک شامل سطوح پایین، مرکز و بالا برای تغییرات فرآیند انحراف معیار برابر با 0.25، 0.75 و 1.25 است. شرط تغییرات بزرگ سطوح تغییر فرآیند انحراف معیار 1.25، 1.75 و 2.25 است.