معیارهای تحریف و مشتقات مالی همگن

Distortion measures and homogeneous financial derivatives

چکیده

1. مقدمه

2. مشتقات مالی مولفه های پرتفوی

1. 2. اپراتورهای مشتقات مالی

2. 2. معیارهای تحریف مشتقات مالی

3. تخصیص مشتقات مالی همگن

1. 3. نمونه گرادیان در معرض قرار گیری F

2. 3. ترم E2

3. 3 زیرتخصیص

4. مطالعه موردی تحلیلی

1. 4 پایه (متغیرپایه)

2. 4 تحریف

3. 4. مشتق مالی

4. 4. تخصیص منسجم

5. 4. معرفی عددی

5. ارزیابی و تخصیص معیارهای تحریف با روش مونت کارلو

6. مثال عددی

1. 6. مقدمات

2. 6. معیار تحریف

3. 6. تخصیص برطبق تعریف

4. 6. تخصیص با فرمول، بدون E2

5. 6. E2

7. نتیجه گیری

چکیده

مقاله حاضر ارزیابی و تخصیص معیارهای ریسک تحریف  را بسط و توسعه می دهد تا بتواند از آنها در مورد اپراتورهای همگن اختیاری ( مشتقات مالی، مثلاً بازیافت بیمه اتکایی ) عناصر اولیه پرتفوی (مثلاً خط زیان های کسب و کار ) استفاده نماید. پژوهش پیشین این گونه استدلال می کند که تخصیص معیار پرتفوی به مشتقات مالی باید شکل موردی ویژه Aumann-Shapley را اتخاذ نماید، که انتظار هم معیار وزنی تحریف است که در اینجا به عنوان تعریف معیار تحریف شده مشتق با توجه به پرتفوی تضمین شده، اتخاذ شده است. به خاطر همگنی، تخصیص آتی مقدار (ارزش) مشتق به عناصر اولیه پرتفوی، مجدداً Aumann-Shapley را به شکل گرادیان نمایش معیار تحریف شده، دنبال می کند. با این حال، در این مورد، گرادیان از دو ترم (عبارت) تشکیل می شود. ترم اول، انتظار تحریف شده آشنایی گرادیان مشتق مالی با توجه به در معرض قرار گیری عنصر می باشد. و ترم دوم، شامل کوواریانس شرطی مشتق مالی با عنصر می باشد. شروط کافی برای محو شدن ترم دوم، فراهم شده است. روش تخمین ترم دوم در چارچوب شبیه سازی، پیشنهاد شده است. ضمناً مثالهایی نیز ارائه شده است. 

1. مقدمه

مقاله حاضر راجع به تخصیص سرمایه یا هزینه ها در یک موقعیت خاص بحث می کند که (1) سرمایه یا هزینه ها با معیار ریسک تحریف محاسبه شده اند، (2) از آن معیار برای پرتفوی بدهیهایی استفاده شده است که ضرر کل، از جمع متغیرهای تصادفی زیان مولفه ها بدست می آید، (3) تبدیل ریسک همگن غیر خطی (مثلاً بیمه اتکایی) برای تجزیه زیان کل به بخش واگذار شده که توسط طرف دیگر پرداخت خواهد شد و بخش نگه داشته شده تکملی که درپرتفوی باقی خواهد ماند، مورد توجه قرار گرفته است، (4) ارزیابی تاثیر تبدیل ریسک بر سرمایه یا هزینه ها مطلوب است و (5) تخصیص آن تاثیر به متغیرهای تصادفی زیان مولفه های اصلی، مطلوب است.

7. نتیجه گیری

مقاله حاضر ریاضیات پایه معیارهای ریسک تحریف – تنها معیارهای ریسک منسجم جمع پذیر کامونوتونیک قانون ثابت- و تخصیص منسجم آن به مولفه های پرتفوی را مرور نمود. او این گونه استدلال نمود که از آنجایی که مشتقات مالی بایستی دارای معیار ریسک پرتفوی باشند که به شیوه ای یکسان با مولفه های پرتفوی – به عبارتی از طریق انتظار تحریف شده هم معیار به آنها اختصاص داده شده باشد- پس با توجه به پرتفوی پایه (به عبارتی در زمینه ارزیابی)، آن انتظار نیز تعریفی مناسبی برای معیار تحریف شده مشتق مالی محسوب می شود. مثالهایی در مورد مشتقات مالی همگن غیر خطی، برگرفته از بیمه اتکایی، مطرح شد. 

Abstract

This paper extends the evaluation and allocation of distortion risk measures to apply to arbitrary homogeneous operators (“financial derivatives,” e.g. reinsurance recovery) of primitive portfolio elements (e.g. line of business losses). Previous literature argues that the allocation of the portfolio measure to the financial derivative should take the usual special-case form of Aumann–Shapley, being a distortion-weighted “co-measure” expectation. This is taken here as the definition of the “distorted” measure of the derivative “with respect to” the underlying portfolio. Due to homogeneity, the subsequent allocation of the derivative’s value to the primitive elements of the portfolio again follows Aumann–Shapley, in the form of the exposure gradient of the distorted measure. However, the gradient in this case is seen to consist of two terms. The first is the familiar distorted expectation of the gradient of the financial derivative with respect to exposure to the element. The second term involves the conditional covariance of the financial derivative with the element. Sufficient conditions for this second term to vanish are provided. A method for estimating the second term in a simulation framework is proposed. Examples are provided.

1. Introduction

This paper discusses the allocation of capital or costs in the particular situation where (1) the capital or costs are computed by a distortion risk measure, (2) that measure is applied to a portfolio of liabilities whose total loss is the sum of the component loss random variables, (3) a nonlinear homogeneous risk transformation (e.g., reinsurance) is contemplated in order to decompose the total loss into a ceded portion that will be paid by another party and the complementary retained portion that will remain in the portfolio, (4) it is desired to evaluate the impact of that risk transformation on capital or costs, and (5) it is desired to allocate that impact back to the original component loss random variables.

7. Conclusion

This paper reviewed the basic mathematics of distortion risk measures – the only law-invariant comonotonic additive coherent risk measures – and the coherent allocation of such to portfolio components. It argued that since financial derivatives must have the portfolio risk measure allocated to them in the same way that portfolio components have – via ‘‘co-measure’’ distorted expectation – then that expectation is also a suitable definition for the ‘‘distorted’’ measure of a financial derivative ‘‘with respect to’’ (i.e., in the context of evaluating) an underlying portfolio. Examples of nonlinear homogeneous financial derivatives, motivated by reinsurance, were given.

تصویری از مقاله ترجمه و تایپ شده در نرم افزار ورد

معیارهای تحریف و مشتقات مالی همگن

Distortion measures and homogeneous financial derivatives

قیمت گذاری مبتنی بر مدل برای مشتقات مالی

Model-based pricing for financial derivatives

چکیده

1. مقدمه

2. معیار بی تفاوت نسبت به ریسک Esscher

3. فرایندهای بازده دارایی برطبق Q

1. 3. نوآوری نرمال

2. 3. نوآوری SNG

3. 3 نوآوری SNIG

4. روش قیمت گذاری مبتنی بر مدل

1. 4. مدلهای قیمت گذاری از نوع GIM

2. 4. مدلهای قیمت گذاری از نوع ARMA

5. مطالعه شبیه سازی

6. کاربرد

7. ملاحظات پایانی

چکیده

فرض کنید St فرایند قیمت سهام و Bt فرایند قیمت اوراق قرضه با نرخ بهره بدون ریسک دائماًترکیب شده ثابت است، که هر دو برروی یک فضای احتمال مناسب P تعریف شده اند. فرض کنیدyt = log(St/St−1). به طور کلی yt را می توان به میانگین شرطی به علاوه نویزبا مولفه های فراریت تجزیه نمود، اما St تنزیل شده، تحت فضای P، یک مارتینگل (افسار) محسوب نمی شود. طبق چارچوب عمومی، معیار بی تفاوت نسبت به ریسک Q را بدست می آوریم که طبق آن St تنزیل شده در این مقاله، یک مارتینگل محسوب می شود. با استفاده از این معیار، نشان می دهیم چگونه قیمت بی تفاوت نسبت به ریسک برای مشتقات را بدست می آوریم. در اینجا مثالهای ساده ای نظیرمدلهای قیمت گذاری NGARCH، EGARCH و GJR، مطرح شده است. مطالعه شبیه سازی نشان می دهد که این مدلهای قیمت گذاری می توانند چولگی فراریت فراریت های ضمنی در اختیار معامله اروپایی را بدست بیاورند. یک کاربرد کوچک، اهمیت روش قیمت گذاری مبتنی بر مدل پیشنهادی را روشن می کند.

1. مقدمه 

پس از کار اصلی Black و Scholes (1973)، و Merton (973) فعالیتهای تجاری در مورد مشتقات در بازارهای مالی سرتاسرجهان، رشد افنجاری داشته است. یکی از سئوالات بنیادی در مالیه، نحوه ارائه یک قیمت منصفانه برای مشتق است، که پرداختش، تکامل یک قیمت دارایی است که براساس آن مشتق نوشته شده است. Black و Scholes (1973) ابتدا اختیار معامله را مطابق اصل عدم وجود آربیتراژ به طور منصفانه ارزشگذاری کردند. روش ارزشگذاری آنها متکی بر فرضیه بازار کارا است، که طبق آن یک معیار احتمال بی تفاوت نسبت به ریسک وجود دارد به گونه ای که قیمت دارایی تنزیل شده، یک مارتینگل است و سپس قیمت منصفانه مشتق، ارزش تنزیل شده مورد انتظارپرداخت آتی اش طبق این معیار می باشد. به ویژه، زمانی که بازار ناقص است، آنگاه معیار بی تفاوت نسبت به ریسک منحصر به فرد نیست. برای بحث های بیشتر راجع به اصل عدم وجود آربیتراژ، به Harrison و Kreps (1979) و Harrison و Pliska (1981) رجوع می کنیم. 

7. ملاحظات پایانی 

در این مقاله، یک معیار Esscher بی تفاوت نسبت به ریسک برای بازده دارایی می سازیم که می تواند به میانگین شرطی به علاوه نویزبا مولفه های فراریت متغیر بر حسب زمان بر طبق معیار احتمال فیزیکی P تجزیه شود. 

با استفاده از این معیار بی تفاوت نسبت به ریسک، 6 روش قیمت گذاری مبتنی بر مدل از نوع ARCH برای ارزشگذاری مشتقات پیشنهاد شده است. مطالعات شبیه سازی نشان می دهد که مدلهای قیمت گذاری پیشنهادی می توانند به چولگی فراریت فراریت های ضمنی در اختیار معامله اروپایی دست یابند. یک کاربرد کوچک در مورد اختیار معامله S&P500، اهمیت روش قیمت گذاری مبتنی بر مدل پیشنهادی با نوآوریهای غیر نرمال را روشن می کند.

Abstract

Assume that St is a stock price process and Bt is a bond price process with a constant continuously compounded risk-free interest rate, where both are defined on an appropriate probability space P. Let yt = log(St/St−1). yt can be generally decomposed into a conditional mean plus a noise with volatility components, but the discounted St is not a martingale under P. Under a general framework, we obtain a risk-neutralized measure Q under which the discounted St is a martingale in this paper. Using this measure, we show how to derive the risk neutralized price for the derivatives. Special examples, such as NGARCH, EGARCH and GJR pricing models, are given. Simulation study reveals that these pricing models can capture the ‘‘volatility skew’’ of implied volatilities in the European option. A small application highlights the importance of our model-based pricing procedure.

1. Introduction

After the seminal work of Black and Scholes (1973) and Merton (1973), there has been explosive growth in the trading activities on derivatives in the worldwide financial markets. A fundamental question in finance is how we give a fair price for the derivative, whose payoff is on the evolution of an asset price upon which the derivative is written. Black and Scholes (1973) first fairly valued the option according to the principle of ‘‘the absence of arbitrage’’. Their valuation method relies on ‘‘efficient market hypothesis’’, under which there exists a risk-neutralized probability measure such that the discounted asset price is a martingale, and then a fair price of the derivative is the expected discounted value of its future payoff under this measure. Particularly, the risk-neutralized measure is not unique when the market is incomplete. For more discussions on the principle of ‘‘the absence of arbitrage’’, we refer to Harrison and Kreps (1979) and Harrison and Pliska (1981).

7. Concluding

remarks In this paper, we construct a risk-neutralized Esscher measure for the asset return which can be decomposed into the conditional mean plus a noise with time-varying volatility components under a physical probability measure P. Using this risk-neutralized measure, six ARCH-type model-based pricing procedures are proposed to value the derivatives. Simulation studies show that our pricing models can capture the ‘‘volatility skew’’ of implied volatilities in the European option. A small application to the S&P 500 option highlights the importance of our model-based pricing procedure with non-normal innovations. As the empirical studies suggested, the performance of our pricing procedure varies in terms of IV, TM, and the distribution of innovation. Hence, two promising directions for future study are (i) choosing an ‘‘optimal’’ IV by the range of TM in some sense, and (ii) estimating the distribution of innovation non-parametrically.

تصویری از مقاله ترجمه و تایپ شده در نرم افزار ورد

قیمت گذاری مبتنی بر مدل برای مشتقات مالی

Model-based pricing for financial derivatives