دانلود ترجمه مقاله محاسبه مشخصه ماتریس متقارن واقعی (اسپرینگر ۲۰۰۴) (ترجمه ویژه – طلایی ⭐️⭐️⭐️)

محاسبه مشخصه ماتریس متقارن واقعی از طریق بهینه سازی

Computing Eigenelements of Real Symmetric Matrices via Optimization

چکیده
۱-مقدمه
۲- قواعد متغیر برای مقدار ویژه بزرگتر از ماتریس متقارن واقعی
۳- الگوریتمهای بهینه سازی برای محاسبه جفت مشخصه بزرگتر از ماتریس متقارن واقعی
۳-۲- روش نیوتن برای محاسبه یک جفت مشخصه
۳-۳- روش شبه نیوتن برای محاسبه بزرگترین جفت مشخصه
۳-۴- یک الگوریتم نیوتن کوتاه برای محاسبه بزرگترین جفت مشخصه
۳-۵- روند جستجوی خطی
۳-۶- روند جستجوی چند بعدی
۳-۷- استراتژیهای حافظه-محدود
۳-۸- آزمایشات عددی
۴- نتیجه گیری

چکیده

بهتر است که در شرایط خاصی از رویکرد بهینه سازی به منظور حل مسائل مشخصه تعمیم یافته استفاده کنیم، Ax = λBx ، در جاییکه A و B ماتریسهای متقارن واقعی هستند و B ماتریس معین ثابت است. بخصوص در زمانیکه ماتریسهای A و B خیلی بزرگ باشند و هزینه محاسباتی، بازدارنده، راه حل، با درستی بالای سیستمهای معادلات موجود در این ماتریسها زیاد باشد. معمولا رویکرد بهینه سازی شامل بهینه کردن خارج قسمت ریلی می باشد.
ما در ابتدا تابع های هدف تناوبی را برای حل مسائل مشخصه( تعمیم یافته)، از طریق بهینه سازی (بدون محدودیت) پیشنهاد می دهیم و ویژگیهای تغییر پذیر این تابعها را توضیح می دهیم.
ما سپس بعضی از الگوریتمهای بهینه سازی را (بر اساس یکی از این فرمولها) که برای محاسبه جفت مشخصه بزرگتر طراحی شده اند ، معرفی می کنیم. بر اساس آزمایشات عددی مقدماتی ، این کار می تواند منجر به ایجاد روشهای عملی برای محاسبه جفت مشخصه بزرگتر (جفت) ماتریس متقارن (بسیار) بزرگ شود.

۴- نتیجه گیری

در این مقاله ما ابتدا تابعهای هدف ناهمجور را به عنوان گزینه های خارج قسمت ریلی، برای محاسبه بردارهای مشخصه از طریق بهینه سازی (بدون محدودیت) ، مرور کردیم. دو تابع از آنها SA and PA) ) توسط Auchmuty معرفی شدند. و ما تابع سوم (L A) را معرفی کردیم و ویژگیهای متفاوت این تابعها را توضیح دادیم. یکی از ویژگیهای پیشنهادی فرمولهای غیر همجور ( که غیر منفرد بودن Hessian آنها در نقاط کمینه نامیده می شود)،تخصصی کردن تکنیکهای بهینه سازی اخیر را به صورت روشهای کار آمد برای محاسبه بزرگترین جفت مشخصه ،مجاز می کند. بر اساس ، آزمایشات عددی مقدماتی که ارائه کردیم، این کار منجر به ایجادروشی برای بهبود روش استاندارد Lanczos برای محاسبه بزرگترین جفت مشخصه از ماتریسهای متقارن واقعی بزرگ می شود. چنین مزایای می توانند دو قسمتی باشند: اولا، در قالب سرعت همگرایی ( تعداد تولیدات بردار- ماتریس)با الگوریتم TN-MDS ما ( روش کوتاه نیوتن با جستجوی چند بعدی ، مختص یکی از تابعهای هدف غیر همجور) ثانیا، در قالب اندازه مسائل که می توانند از طریق ورژن حافظه محدود از TN-MDS مد نظر قرار بگیرند.

Abstract

In certain circumstances, it is advantageous to use an optimization approach in order to solve the generalized eigenproblem, Ax = λBx, where A and B are real symmetric matrices and B is positive definite. In particular, this is the case when the matrices A and B are very large and the computational cost, prohibitive, of solving, with high accuracy, systems of equations involving these matrices. Usually, the optimization approach involves optimizing the Rayleigh quotient.
We first propose alternative objective functions to solve the (generalized) eigenproblem via (unconstrained) optimization, and we describe the variational properties of these functions.
We then introduce some optimization algorithms (based on one of these formulations) designed to compute the largest eigenpair. According to preliminary numerical experiments, this work could lead the way to practical methods for computing the largest eigenpair of a (very) large symmetric matrix (pair).

۴- Conclusion

In this paper, we first reviewed non-homogeneous objective functions, as alternatives to the usual Rayleigh quotient, for computing eigenelements via (unconstrained) optimization. Two of these functions (SA and PA) were introduced by Auchmuty. We introduced a third one (L A), and we described the variational properties of these functions. A feature of the proposed non-homogeneous formulations (namely the non-singularity of their Hessian at minimum points) allowed specialization, of standard and recent optimization techniques, into efficient methods for computing the largest eigenpair. According to the preliminary numerical experiments we presented, this work leads the way to improvement to the standard Lanczos method for computing the largest eigenpair of (very) large real symmetric matrices. Such benefits could be twofold. Firstly, in terms of speed of convergence (number of matrix-vector products) with our algorithm TN-MDS (a truncated Newton method with multi-dimensional search, specialized to one of the proposed non-homogeneous objective functions). Secondly, in terms of the size of problems that can be addressed, through the use of a limited-memory version of TN-MDS.

تصویری از مقاله ترجمه و تایپ شده در نرم افزار ورد

محاسبه مشخصه ماتریس متقارن واقعی از طریق بهینه سازی

Computing Eigenelements of Real Symmetric Matrices via Optimization